Centro de masas

El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

Para una definición formal, véase baricentro.

Cálculo del CM de un sistema

Distribución discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

$\mathbf {R} _{CM}={\frac {\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

$m_{i}\,$, masa de la partícula i-ésima.

$\mathbf {r} _{i}$, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido.

Distribución cuasidiscreta de materia

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

Distribución continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

$\mathbf {R} _{CM}={\frac {\int \mathbf {r} \ dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \ dm$

• Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación $dm=\rho \ dV$
  

$\mathbf {R} _{CM}={\frac {\rho \int _{V}\mathbf {r} \ dV}{\rho \int \ dV}}={\frac {\int _{V}\mathbf {r} \ dV}{V}}$

Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes.

- Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el baricentro del cuerpo.

• Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad $\rho ({\vec {r}})$. En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.
  

$\mathbf {R} _{CM}={\frac {\int _{V}\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ dV}{M}}$

- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.

Centro de energía (teoría de la relatividad)

En teoría de la relatividad, el cálculo del tensor momento angular requiere calcular una magnitud similar al centro de masa, el centro de energía que viene dado por:

$\mathbf {R} _{CE}={\frac {\int \mathbf {r} \ \varepsilon _{\mathbf {r} }\ dV}{E}}$

Para un sistema de partículas moviéndose a velocidades relativamente pequeñas comparadas con la de la luz, y en presencia de campos relativamente débiles el centro de energía coincide con muy alta precisión con el centro de masa.

Véase también

• Baricentro
• Centroide
• Centro de gravedad