Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica:

$u^{n+1}=u^{n}+\Delta t\sum _{i=1}^{e}b_{i}k_{i}$,

donde:

$k_{i}=F(u^{n}+\Delta t\sum _{j=1}^{e}a_{ij}k_{j};t_{n}+c_{i}\Delta t)$ $i=1,...,e$

con $a_{ij},b_{i},c_{i}$ constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes $a_{ij}$ del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, $a_{ij}=0$ para $j=i,...,e$, los esquemas son explícitos.

Ejemplo: Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en $t=t_{n}$ y otra en $t=t_{n}+\Delta t_{n}$. F (u, t) en la primera etapa es:

$F^{n}=k_{1}=F(u^{n};t_{n})\,$

y para estimar F (u, t) en $t=t_{n}+\Delta t_{n}$ usamos un esquema Euler

$F^{n+1}=k_{2}=F(u^{n}+\Delta t_{n}k_{1};t_{n}+\Delta t_{n})\,$

Con estos valores de F introducidos en la ecuación $u^{n+1}=u^{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}F(u,t),dt$ nos queda la expresión:

$u^{n+1}=u^{n}+{{\Delta t_{n}} \over 2}(k_{1}+k_{2})$

Las constantes propias de este esquema son: $b_{1}=b_{2}=1/2;a_{21}=1;c_{2}=1.$

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

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Métodos de Runge-Kutta

Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.

Definamos un problema de valor inicial como:

$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}$

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

$y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$ Donde

$k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)$

$k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)$

$k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)$

$k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)$

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:

$k_{1}$ es la pendiente al principio del intervalo;

$k_{2}$ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando $k_{1}$ para determinar el valor de y en el punto $t_{n}+{\frac {h}{2}}$ usando el método de Euler

$k_{3}$ es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando $k2$ para determinar el valor de $y$

$k_{4}$ es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por $k_{3}$

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

${\mbox{pendiente}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.$

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de $O(h^{5})$, mientras que el error total acumulado tiene el orden $O(h^{4})$.

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Runge-Kutta

Es un método de un paso, es decir, para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior, además no requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(x, y). Todo ello hace que el método de Runge Kutta, sea más fácil de aplicar que otros sistemas, como por ejemplo la serie de Taylor. Siendo:

$Y_{n+1}=Y_{n}+hf\left(X_{n},Y_{n}\right)$

$f\left(X_{n},Y_{n}\right)={\frac {1}{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$

y con las ecuaciones anteriormente explicadas.

Aplicación del Método de Runge-Kutta

Ej. Resolver la ecuación

$f\left(X_{i},Y_{i}\right)={\frac {1}{2}}(1+X_{i})Yi^{2}$

Condiciones iniciales: $X_{o}=0,Y_{o}=1$.

Comprobaremos la influencia del intervalo (h) en el resultado de la aplicación del método de Runge-Kutta respecto a los valores reales, se observará la eficiencia de aproximación de dicho método.

h = 0.1

X	Yrk	k1	k2	k3	k4	Yreal
0	1	0,05	0,05515781	0,05543572	0,06126695	1
0,1	1,055409	0,06126385	0,03538455	0,06621391	0,07548228	1,05540897
0,2	1,11206618	0,07420147	0,07923508	0,08289846	0,09281613	1,12359551
0,3	1,19394696	0,09265811	0,0999885	0,10444881	0,11800821	1,20845921
0,4	1,29720378	0,11779163	0,12873043	0,13440558	0,1537129	1,31578947
0,5	1,43016654	0,15340322	0,17029887	0,17795414	0,20688417	1,45454545

h = 0.05

X	Yrk	k1	k2	k3	k4	Yreal
0	1	0,025	0,02626963	0,02630258	0,02764905	1
0,05	1,02629891	0,02764885	0,01487553	0,02871893	0,03060922	1,02629891
0,1	1,05054008	0,03034995	0,03123309	0,0319694	0,03369002	1,05540897
0,15	1,0822809	0,03367579	0,03473179	0,03552093	0,03748443	1,08769545
0,2	1,11755851	0,03746811	0,03873482	0,03958589	0,04184322	1,12359551
0,25	1,15688397	0,04182439	0,04335012	0,04427442	0,0468904	1,16363636
0,3	1,20087795	0,0468685	0,04871556	0,04972734	0,05278546	1,20845921
0,35	1,25030124	0,0527598	0,05500962	0,0561271	0,05973643	1,2588513
0,4	1,30609618	0,05970605	0,06246661	0,06371354	0,06801873	1,31578947
0,45	1,3694437	0,06798238	0,07139907	0,07280701	0,07800327	1,38050043
0,5	1,44184333	0,07795921	0,08223137	0,08384326	0,09019913	1,45454545

'Conclusión': Cuando el intervalo es más pequeño (h), el número de cálculos será mayor y la aproximación será más cercana a la real.

Métodos de Runge-Kutta Explícitos

La familia de los métodos Runge-Kutta explícitos está dado por la generalización del método RK4 mencionado antes, está dado por:

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},$ Donde

$k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,$

$k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,$

$k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),\,$

$k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).$

Para especificar un método en particular , se necesita proveer un valor entero s (número de etapas), y los coeficientes a_ij (para 1 ≤ j < i ≤ s), b_i (para i = 1, 2, ..., s) and c_i (para i = 2, 3, ..., s). Esos valores usualmente son organizados en una tabla conocida como Butcher tableau o arreglo de Butcher (por John C. Butcher):

	0
	$c_{2}$	$a_{21}$
	$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	$c_{s}$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_{s}$

El método Runge-Kuta es consistente si

$\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {para} \ i=2,\ldots ,s.$

También existen requerimientos adicionales si queremos que el método tenga cierto orden p, significando esto que el error de truncamiento es O (hp+1). Eso puede ser derivado de la definición de error de truncamiento, por ejemplo, un método de dos etapas tiene grado 2 si b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, y b₂ a₂₁ = 1/2.