Anexo:Identidades trigonométricas

Los matemáticos se vieron enfrentados por una duda con respecto a la siguiente expresión:

$sin(A+B)=???\,$

Lo mas lógico seria decir que:

$sin(A+B)=sin(A)+sin(B)\,$

Lo cual es totalmente incorrecto, por que:

$sin(30+30)=sin(30)+sin(30)\,$

$sin(60)=sin(30)+sin(30)\,$

$sin(60)=sin(30)+sin(30)\,$

${\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}$ ≠ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,$

Con esta comprobacion deducimos que el teorema es incorrecto.

Identidades trigonométricas de la adicion de dos arcos

Seno de la adicion de dos arcos

La verdadera fórmula para hallar el seno de arco compuesto es:

$sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)\,$

Coseno de la adicion de dos arcos

$cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)\,$

Tagente de la adicion de dos arcos

$tg(A+B)={\frac {tg(A)+tg(B)}{1-tg(A)tg(B)}}\,$

Cotangente de la adicion de dos arcos

$ctg(A+B)={\frac {ctg(A)ctg(B)-1}{ctg(A)+ctg(B)}}\,$

Identidades trigonométricas de la diferencia de dos arcos

Seno de la diferencia de dos arcos

$sin(A-B)=sin(A)cos(B)-cos(A)sin(B)\,$

Coseno de la diferencia de dos arcos

$cos(A-B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)\,$

Tangente de la diferencia de dos arcos

$tg(A-B)={\frac {tg(A)-tg(B)}{1+tg(A)tg(B)}}\,$

Cotangente de a diferencia de dos arcos

$ctg(A-B)={\frac {ctg(A)ctg(B)+1}{ctg(A)-ctg(B)}}\,$

Identidades trigonométricas de la adicion de tres arcos

Seno de la adicion de tres arcos

$sin(A+B+C)=sin(A)cos(B)cos(C)+sin(B)cos(A)cos(C)+sin(C)cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)sin(C)\,$

Coseno de la adicion de tres arcos

$cos(A+B+C)=cos(A)cos(B)cos(C)-cos(A)sin(B)sin(C)-cos(B)sin(A)sin(C)-cos(C)sin(A)sin(B)\,$

Tangente de la adicion de tres arcos

$tg(A+B+C)={\frac {tg(A)+tg(B)+tg(C)-tg(A)tg(B)tg(C)}{1-tg(A)tg(B)-tg(B)tg(C)-tg(A)tg(C)}}$

Cotangente de la adicion de tres arcos

$ctg(A+B+C)={\frac {ctg(A)ctg(B)ctg(C)-tg(A)-tg(B)-tg(C)}{ctg(A)ctg(B)+ctg(B)ctg(C)+ctg(A)ctg(C)-1}}$

Otras identidades

Funcion de asin(x)+bcos(x)

$-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq asin(x)+bcos(x)\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Identidades de transformacion

$sin(x+y)sin(x-y)=sin^{2}(x)-sin^{2}(y)\,$

$cos(x+y)cos(x-y)=cos^{2}(x)-cos^{2}(y)\,$

$tg(x)+tg(y)={\frac {sen(x+y)}{sen(x)cos(y)}}\,$

$tg(x)-tg(y)={\frac {sen(x-y)}{sen(x)cos(y)}}\,$

$ctg(x)+ctg(y)={\frac {sen(x+y)}{sen(x)sen(y)}}\,$

$ctg(x)-ctg(y)={\frac {sen(y-x)}{sen(x)sen(y)}}\,$

Identidades de eliminacion

$tg(x)+tg(y)+tg(x+y)tg(x)tg(y)=tg(x+y)\,$

$tg(x)-tg(y)-tg(x+y)tg(x)tg(y)=tg(x-y)\,$

Identidades condicionarias

Si A+B+C = K$\pi$, K pertence a los números Z, entonces:

$tg(A)+tg(B)+tg(C)=tg(A)tg(B)tg(C)\,$

$ctg(A)ctg(B)+ctg(A)ctg(B)+ctg(B)ctg(C)=1\,$

Si A+B+C = (2K+1)$\pi$, (2K+1) pertenece a los números Z, entonces :

$ctg(A)+ctg(B)+ctg(C)=ctg(A)ctg(B)ctg(C)\,$

$tg(A)tg(B)+tg(A)tg(B)+tg(B)tg(C)=1\,$

Referencias

Trigonometría proyecto ingenio segunda edicion

Vease también

Trigonometría

Arcos múltiples

Identidades trigonométricas