Función de Green

En matemáticas, una función de Green es un tipo de función usada como núcleo de un operador lineal integral y usada en la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas con condiciones de contorno especificadas. La función de Green recibe ese nombre por el matemático británico George Green, que desarrolló el concepto hacia 1830.

El término también aparece en física, particularmente en teoría cuántica de campos, para referirse a varios tipos de funciones de correlación y operadores integrales para ciertas magnitudes calculables a partir del operador de campo.

Motivación

El término función de Green se usa para designar a un operador lineal K que tiene forma de integral, siendo el núcleo de este operador integral la función de Green propiamente dicha. Para explicar que es la función de Green consideremos un operador diferencial lineal L que actúa sobre cierto espacio de funciones definidas sobre una variedad diferenciable M, y pongamos que pretendemos resolver la ecuación diferencial:

(1)$L[u(x)]=f(x)\qquad x\in \Omega \subset M$

La idea del método basado en la función de Green es encontrar una función de dos variables G(x, s) continua y diferenciable en el sentido de la teoría de distribuciones que cumpla:

(2)$L[G(x,s)]=\delta (x-s)$

Donde $\delta ()\;$ es la distribución delta de Dirac. Si se puede hallar una función G que cumpla la ecuación (2) entonces la solución de la ecuación (1) sea cual sea la función f puede escribirse en la forma:

(3)$u(x)=K[f(x)]:=\int G(x,s)f(s)\quad ds$

Puede verse informalmente que la solución así calculada es solución de la ecuación (1) ya que:

$L[u(x)]=\int L[G(x,s)]f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x)$

$L\cdot K=K\cdot L=Id\qquad \Rightarrow \qquad L^{-1}=K$

Conviene añadir algunas precisiones al planteamiento informal que hemos presentado:

1. Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única, aunque en la práctica una combinación de las simetrías del problema, las condiciones de contorno y otros criterios prácticos externos nos proporcionan un única función de Green.
2. La función de Green G usualmente no es una Función matemática ordinaria sino que puede ser una distribución o función generalizada.
3. No cualquier operador diferencial lineal L admite función de Green. En el caso más general K es sólo un inverso por la derecha de L.

Las funciones de Green son muy útiles en teoría de la materia condensada donde permiten resolver la ecuación de difusión y también en mecánica cuántica donde la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave, para el desarrollo de la teoría cuántica de campos.

Definición

Sea $L$ el operador diferencial de Sturm-Liouville, de la forma

$L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)$

Y sea D el operador que define las condiciones de frontera de Dirichlet

$Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l).\end{matrix}}\right.$

Sea $f(x)$ una función continua en $[0,l]$. Debemos suponer, también que el problema

${\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}$

es regular, esto es, solo la solución trivial existe para la ecuación homogénea.

Teorema

Solamente existe una solución u (x) que satisface

${\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}$

y está dada por

$u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds$

En la cual G (x, s) es la función de Green que satisface las siguientes condiciones:

1. G (x, s) es continua x y s.
2. Para $x\neq s$, $LG(x,s)=0\,$.
3. Para $s\neq 0,l$, $DG(x,s)=0\,$.
4. Salto en la derivada: $G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s).\,$
5. Simetría: G(x, s) = G(s, x).

Ejemplo

Dado el problema

${d \over dx}\left[{d \over dx}u(x)\right]+u(x)=f(x)$

Con las condiciones de frontera

$u(0)=0,\quad \quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$

Encontrar la función de Green.

Primer paso: La función de Green para el operador lineal es definida como la solución para

$g''+g=\delta (x-s).\,$

Si $x\neq s\,\!$, entonces, la distribución delta asume una valor nulo y la solución general para el problema es

$g(x,s)=A\cos x+B\sin x.\,$

Para $x<s,\,\!$ la condición de frontera en $x=0\,\!$ significa que

$g(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0.$

La ecuación para $g({\frac {\pi }{2}},s)=0$ se omite pues $x\neq {\frac {\pi }{2}}$ si $\quad x<s$ y $s\neq {\frac {\pi }{2}}.$

Para $x>s,\,\!$ la condición de frontera en $x=\pi /2\,\!$ implica que

$g\left({\frac {\pi }{2}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0.$

La ecuación $\quad g(0,s)=0$ es omitida por similares razones.

Adicionando los resultados, obtenemos, finalmente:

$g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}c_{2}\sin x,\;\;x<s\\c_{3}\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$

segundo paso: A continuación, vamos a encontrar $c_{2}$ y $c_{3}$.

Debemos asegurar la continuidad de la función de green para el intervalo escogido. Cuando $x=s\,\!$ se tiene que

$c_{2}\sin s=c_{3}\cos s.\,$

También debemos asegurar la discontinuidad de la primera derivada por integración de la ecuación diferencial de $x=s-\epsilon$ a $x=s+\epsilon$ y tomando el límite cuando $\epsilon$ tiende a cero. Por lo cual, derivando la igualdad anterior y garantizando la discontinuidad de esta, tenemos:

$c_{3}\cdot [-\sin s]-c_{2}\cdot \cos s=1\,.$

En la cual se iguala a 1 pues p (x) es 1. Resolvemos para las constantes. $c_{2}$ y $c_{3}$ obteniendo:

$c_{2}=-\cos s\quad ;\quad c_{3}=-\sin s.$

Entonces, la función de Green es:

$g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-\cos s\cdot \sin x,\;\;x<s,\\-\sin s\cdot \cos x,\;\;s<x.\end{matrix}}\right.$

Aplicaciones

El uso principal del formalismo de la función de Green en matemáticas y física es la resolución de ecuaciones diferenciales inhomogéneas con condiciones de contorno dadas. En física las funciones de Green además son usadas como propagadores en el cálculo de diagramas de Feynmann.

• Tutorial on Green's function