Asociatividad (álgebra)

Sea G un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna *, es decir una aplicación:

G×G → G

(x,y) → x*y

Se dice que * es asociativa si verifica para todo (x,y,z) de G³ la igualdad x*(y*z) = (x*y)*z, donde los paréntesis indican que hay que hacer la operación interna antes de hacer la operación externa.

Ejemplos fundamentales: En el conjunto C de los números complejos y, por restricción, en el conjunto R de los números reales la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones asociativas.

Un ejemplo más sencillo de la ley asociativa sería: 100-100-10=-10 que sería igual a (100-100)-10 = - 10 pero 100-(100-10)=100-90 lo que sería =10 pero positivo otro ejemplo 100-20-10= 70 o (100-20)-10= 70 pero 100-(20-10)=100-10= 90 Es decir, cuando hay un primer paréntesis se omite

Otro tipo de ejemplo es: 100/2+20, por regla primero se hacen las operaciones de multiplicación y división y después la de suma o resta, lo que sería igual a poner(100/2)+20=70 Lo que sería diferente si 100/(2+20)= 100/22 = 4.54

En general, las operaciones no asociativas no despiertan un interés descomunal en la comunidad matemática. Prueba de ello, la apelación de los conjuntos con operaciones a las que no se exige asociatividad: magma... Sin embargo, existen dos notables excepciones: los conjuntos de los octoniones y de los sedeniones, que son extensiones de los cuaterniones.