Espacio maximalmente simétrico

Un espacio maximalmente simétrico (EMS) es un espacio métrico en el que puede definirse el concepto de dimensión y donde el grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible. Si se considera un espacio métrico real de dimensión d la dimensión máxima posible del grupo de isometría, que es un grupo de Lie, resulta ser d(d+1)/2.

Espacio euclídeo

En el espacio euclídeo el grupo de traslaciones tiene dimensión d y el de rotaciones tiene dimensión:

${\begin{pmatrix}d\\2\end{pmatrix}}={\frac {d(d-1)}{2}}$

La combinación de traslaciones, rotaciones y simetría especulares y de inversión varias da el grupo de isometría del espacio que por tanto tiene dimensión:

$d+{\frac {d(d-1)}{2}}={\frac {d(d+1)}{2}}$

El grupo de isometría del espacio euclídeo admite el siguiente isomorfismo:

${\mathcal {I}}(\mathbb {E} ^{d})\approx \mathbb {R} ^{d}\times {\mbox{O}}(d)$

donde ${\mbox{O}}(d)$ es el grupo ortogonal d-dimensional.

Variedades riemannianas

Una superficie esférica S² constituye un caso de espacio bidimensional maximalmente simétrico.

Los espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión:

$R_{ijkl}=C(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})\,$

donde $\scriptstyle g_{ij}$ es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera. En tensor de Ricci $\scriptstyle R_{ij}$ y la curvatura escalar $\scriptstyle S$son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura:

$R_{ij}=(n-1)Cg_{ij},\qquad S=n(n-1)C$

y donde $\scriptstyle n$ es la dimensión del espacio.

La geometría hiperbólica y la geometría elíptica (además de la geometría euclídea) son casos particulares de geometrías riemannianas uniformes que son maximalmente simétricas. Para las geometrías hiperbólica y elíptica existe un parámetro llamado "radio" R relacionado con el valor no nulo de C mediante la relación:

$C={\frac {\pm 1}{R^{2}}}$

escogiendo el sistema de unidades adecuadamente puede obtenerse |R| = 1 y por tanto |C| = 1. En el caso de la geometría elíptica R coincide con el radio de la n-esfera que se use como modelo de geometría elíptica.

Los grupos de isometría de los espacios maximalmente simétricos de curvatura positiva y negativa son:

${\mathcal {I}}(\mathbb {S} ^{d})\approx {\mbox{O}}(d+1),\qquad {\mathcal {I}}(\mathbb {H} ^{d})\approx {\mbox{O}}_{+}(d,1)$

Donde:

$\mathbb {S} ^{d},\mathbb {H} ^{d}\,$, son repsectivamente el EMS de curvatura positiva y el EMS de curvatura negativa.

${\mbox{O}}(d+1)\,$, es el grupo ortogonal d+1-dimensional.

${\mbox{O}}_{+}(d,1)\,$, es el subgrupo ortocrono del grupo de Lorentz d+1-dimensional.

Referencias

• John M. Lee (1997), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98271-X. 

• Datos: Q5839781