Energía potencial

Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando están en el fondo de su trayectoria. Cuando comienzan a elevarse, la energía cinética comienza a ser convertida a energía potencial gravitacional, pero, si se asume una fricción insignificante y otros factores de retardo, la cantidad total de energía en el sistema sigue siendo constante.

La energía potencial es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo ($\ W$), dependiendo de la configuración que tengan en un sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. Puede pensarse como la energía almacenada en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

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Energía potencial elástica

La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

• Potencial armónico (caso unidimensional), dada una partícula en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke (F= -k|r|) siendo k la constante de dicho campo, su energía potencial será V = 1/2 K |r|².

• Energía de deformación (caso general), en este caso la función escalar que da el campo de tensiones es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen f que representa la energía de deformación. En función de las deformaciones ε_ij y la temperatura la energía libre de un cuerpo deformado viene dada por:

(1)${\begin{cases}f(\epsilon _{ij},T)=\lambda (T)\left(\sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ii}\right)^{2}+2\mu (T)\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ij}^{2}\\f(\epsilon _{ij},T)=\lambda (T)\left(\epsilon _{xx}+\epsilon _{yy}+\epsilon _{zz}\right)^{2}+2\mu (T)\left(\epsilon _{xx}+\epsilon _{xy}+...+\epsilon _{zy}+\epsilon _{zz}\right)^{2}\end{cases}}$

Donde $\lambda (T),\mu (T)\,$ son constantes elásticas llamadas coeficientes de Lamé, que pueden depedender de la temperatura, y están relacionadas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante las relaciones algebraicas:

$\lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}\qquad \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

A partir de esta expresión (1) del potencial termodinámico de energía libre pueden obtenerse las tensiones a partir de las siguientes relaciones termodinámicas:

$\sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \epsilon _{ij}}}\right)_{S}={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}\left(\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{kk}\right)+{\frac {E}{(1+\nu )}}\epsilon _{ij}$

Estas últimas ecuaciones se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke y escritas más explícitamente en forma matricial tienen la forma:

${\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{pmatrix}1+\alpha &\alpha &\alpha &&&\\\alpha &1+\alpha &\alpha &&&\\\alpha &\alpha &1+\alpha &&&\\&&&{\frac {1}{2}}&0&0\\&&&0&{\frac {1}{2}}&0\\&&&0&0&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}$

Donde $\alpha :={\frac {\nu }{1-2\nu }}$

Véase también

• Energía cinética
• Energía mecánica