Dominio de una función

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función $f\colon X\to Y\,$ es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota $\operatorname {Dom} _{f}\,$ o bien $D_{f}\,$. En $\mathbb {R} ^{n}$ se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

 12 X+ 21 = cachondo      

Definición

El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

$D_{f}=\;\left\{x\in X|\exists y\in Y:f(x)=y\right\}$

Propiedades

Dadas dos funciones reales:

$f\colon X_{1}\to \mathbb {R} \,\qquad {\mbox{y}}\quad g\colon X_{2}\to \mathbb {R} \,$

Se tienen las siguientes propiedades:

1. $D_{(f+g)}=X_{1}\cap X_{2}$
2. $D_{(f-g)}=X_{1}\cap X_{2}$
3. $D_{(f\cdot g)}\ =X_{1}\cap X_{2}$
4. $D_{(f/g)}=\{x\in (X_{1}\cap X_{2})|g(x)\neq 0\}$

Cálculo del dominio de una función

 12 X+ 21 = cachondo      

Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

Raíz n-ésima de f(x)

No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:

$y={\sqrt {7x-21}}$

El índice de la raíz es par (2), por tanto $7x-21\geq 0$; despejando tenemos que x ≥ 3. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).

Logaritmo de f(x)

La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

$\log(x^{2}-9)$

Por la propiedad anteriormente citada tenemos que para que esta función exista, necesariamente $x^{2}-9>0$; despejando obtendremos dos soluciones $x>3$ y $x<-3$. La unión de ambas soluciones representa el dominio de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

Fracciones

Véase también: División por cero

Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación que daría una tendencia al infinito. Veamos:

la función $y={\frac {7-3x}{10x-2}}$ no estará definida cuando $10x-2=0$, despejando $x={1 \over 5}$, es decir la variable x debe tener un valor diferente para poder existir, ya que en ese punto no está definida, por tanto el dominio de esta función será el conjunto de todos los reales menos ese punto. Su notación será ℝ \ {1/5}, que se lee, el conjunto de todos los reales menos el punto un quinto.

El grado de dificultad se incrementa cuando se busca el dominio de una función con variable en el denominador contenida dentro de un radical de índice par o logaritmo, ya que esto se traslada a resolver una desigualdad. No obstante, el método de polos y ceros nos permite resolver esta clase de inecuaciones con facilidad.

Ejemplo

Para evidenciar este caso veamos este problema. Hallar el dominio de la siguiente función:

$f(x)=\log \left({\frac {5x+1}{3x-2}}\right),\!$

Para que esta función exista, necesariamente

${\frac {5x+1}{3x-2}}\ >0,\!$

Ya que no existe logaritmo de expresiones negativas. La solución de esta desigualdad, es explicada paso por paso en el artículo polos y ceros anteriormente citado, su solución constituirá el dominio de la función que en este caso será (-∞, -1/5) U (2/3, +∞).

Ejemplos

Algunos dominios de funciones reales de variable real:

$f(x)=x^{2}\,\!$ El dominio de esta función es $\mathbb {R}$.

$f(x)={\frac {1}{x}}$ El dominio de esta función es $\mathbb {R} -\lbrace 0\rbrace$ puesto que la función no está definida para x = 0.

$f(x)=\log(x)\,\!$ El dominio de esta función es $(0,{+}\infty )$ ya que los logaritmos están definidos sólo para números positivos.

$f(x)={\sqrt {x}}$ El dominio de esta función es $\lbrack 0,{+}\infty )$ porque la raíz de un número negativo no existe en el cuerpo de los reales.

Véase también

• Codominio
• Imagen

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Domain». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Domain_of_definition&oldid=24822», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .