Diferencia entre revisiones de «Péndulo doble»
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{{otros usos|Péndulo (desambiguación)}} |
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[[Image:Double-Pendulum.svg|right|thumb|200px|Un ejemplo de doble péndulo.]] |
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En [[matemáticas]], en el área de [[sistemas dinámicos]], un '''doble péndulo''' es un sistema compuesto por dos [[péndulo]]s, con el segundo colgando del extremo del primero. |
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Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un '''doble péndulo plano''', con dos [[Péndulo#Péndulo plano|péndulos planos]] coplanarios. Este último constituye un sistema físico con dos [[grados de libertad (física)|grados de libertad]] que exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es [[teoría del Caos#Movimiento caótico|caótico]]. |
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==Análisis del movimiento del péndulo doble plano== |
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=== Cinemática=== |
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En la cinemática sólo estamos tratando de encontrar las expresiones de la posición, la velocidad, la aceleración y en términos de las variables que especifican el estado del dispositivo, sin considerar todavía las fuerzas. Es natural considerar: |
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*X,Y = posición horizontal y vertical de la masa de un péndulo |
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*θ = ángulo de un péndulo respecto a la vertical (0 = vertical hacia abajo, antihorario es positivo) |
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*L = longitud de la varilla (constante) |
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Asociaremos al péndulo superior el subíndice 1, y al de abajo el subíndice 2. Pondremos el origen de coordenadas en el punto de pivote del péndulo superior. El sentido de las ordenadas crecientes se toma hacia arriba. |
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Usando simple trigonometría escribiremos expresiones de las posiciones x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub> en términos de los ángulos θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>: |
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:<math> x_1 = L_1 \sin\theta_1 </math> |
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:<math> y_1 = -L_1 \cos\theta_1 </math> |
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:<math> x_2 = x_1 + L_2 \sin \theta_2 </math> |
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:<math> y_2 = y_1 - L_2 \cos \theta_2 </math> |
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Derivando obtenemos: |
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:<math> \dot x_1 = \dot\theta_1 L_1 \cos \theta_1</math> |
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:<math>\dot y_1 = \dot \theta_1 L_1 \sin \theta_1</math> |
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:<math>\dot x_2 = \dot x_1 + \dot\theta_2 L_2 \cos \theta_2</math> |
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:<math>\dot y_2 = \dot y_1 + \dot\theta_2 L_2 \sin \theta_2</math> |
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Y derivando una segunda vez: |
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:<math>\ddot x_1 = -\dot \theta_1^2 L_1 \sin \theta_1 + \ddot\theta_1 L_1 \cos \theta_1</math> |
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:<math>\ddot y_1 = \dot\theta_1^2 L_1 \cos \theta_1 + \ddot\theta_1 L_1 \sin \theta_1</math> |
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:<math>\ddot x_2 = \ddot x_1 - \dot\theta_2^2 L_2 \sin \theta_2 + \ddot\theta_2 L_2 \cos \theta_2 </math> |
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:<math>\ddot y_2 = \ddot y_1 + \dot\theta_2^2 L_2 \cos \theta_2 + \ddot\theta_2 L_2 \sin \theta_2</math> |
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=== Fuerzas=== |
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Definimos las variables: |
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*T = tensión en la varilla |
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*M = masa del péndulo |
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*g = constante gravitacional |
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Usaremos la ley de Newton ''F = m*a'' escribiendo por separado las ecuaciones de las fuerzas verticales y horizontales. |
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Sobre la masa <math>m_1</math> actúan la tensión en la parte superior de la cuerda <math>T_1</math>, la tensión en la parte inferior de la cuerda <math>T_2</math>, y la gravedad ''-m<sub>1</sub>g'': |
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:<math>m_1 \ddot x_1 = -T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2</math> |
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:<math>m_1 \ddot y_1 = T_1 \cos \theta_1 - T_2 \cos \theta_2 - m_1 g</math> |
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Sobre la masa <math>m_2</math>, actúan la tensión <math>T_2</math> y la gravedad ''–m<sub>2</sub>g'': |
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:<math>m_2 \ddot x_2 = -T_2 \sin \theta_2</math> |
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:<math>m_2 \ddot y_2 = T_2 \cos \theta_2 - m_2 g</math> |
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===Ecuaciones de movimiento=== |
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Usando todas las ecuaciones anteriores, tras realizar numerosas manipulaciones algebraicas con el fin de encontrar las expresiones de <math>\ddot{\theta_1}</math>, <math>\ddot{\theta_2}</math> en términos de <math>\theta_1</math>, <math>\dot{\theta_1}</math>, <math>\theta_2</math>, <math>\dot{\theta_2}</math>, llegaríamos a las ecuaciones de movimiento para el péndulo doble: |
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:<math>\ddot\theta_1 = \frac { -g (2 m_1 + m_2) \sin \theta_1 - m_2 g \sin(\theta_1 - 2 \theta_2) - 2 \sin(\theta_1 - \theta_2) m_2 (\dot\theta_2^2 L_2 + \dot\theta_1^2 L_1 \cos(\theta_1 - \theta_2))} { L_1 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2))}</math> |
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:<math>\ddot\theta_2 = \frac {2 \sin(\theta_1 - \theta_2) (\dot\theta_1^2 L_1 (m_1 + m_2) + g(m_1 + m_2) \cos \theta_1 + \dot\theta_2^2 L_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)) } { |
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L_2 (2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2))}</math> |
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===Energía=== |
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La energía cinética viene expresada por: |
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:<math>T=\frac{1}{2}m_1(\dot x_1^2+\dot y_1^2)+\frac{1}{2}m_2(\dot x_2^2+\dot y_2^2)=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + |
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\frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 + |
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2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)] |
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</math> |
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La energía potencial : |
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:<math>V=m_1gy_1+m_2gy_2=-(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)-m_2gl_2\cos(\theta_2)\,</math>. |
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Por tanto, el movimiento se regirá por la lagrangiana <math>L=T-V\,</math>: |
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:<math>L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2 |
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+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) |
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+(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)+m_2gl_2\cos(\theta_2)</math> |
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==Enlaces externos== |
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* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Artículo en scienceworld de Eric Weisstein] (en inglés). |
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*[http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Systemes/pendule_double.html Animación que muestra movimiento del péndulo doble y reparto de energía entre uno y otro péndulo] |
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[[Categoría:Péndulo]] |
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[[de:Doppelpendel]] |
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[[en:Double pendulum]] |
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[[fr:pendule double]] |
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[[sv:Dubbelpendel]] |
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