Diferencia entre revisiones de «Distancia de un punto a una recta»
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⚫ | ==Demostración==, es decir sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortonormal - <math>(O, \vec i, \vec j )</math> en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: <math>D: a \cdot x + b \cdot y + c = 0</math>; y <math> M=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /> |
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==Demostración== |
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Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en el proyectado ortogonal de A sobre D, es decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de (D), entonces en el [[triángulo rectángulo]] AA'B, la [[hipotenusa]] AB es más larga que el [[cateto]] AA'. Geométricamente se construye el proyectado A' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto A; luego se mide la longitud AA'. |
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[[Archivo:Distancia punto recta 2.png|left]] |
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Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos tomar '''c = 0'''. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma <math>\begin{pmatrix} -by/a \\ y \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} -b/a \\ 1 \end{pmatrix}</math>, que puede simplificarse a <math>\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}</math> |
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos tomar '''c = 0'''. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma <math>\begin{pmatrix} -by/a \\ y \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} -b/a \\ 1 \end{pmatrix}</math>, que puede simplificarse a <math>\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}</math> |
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Revisión del 18:20 23 nov 2009
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Distancia_punto_recta_1.png)
Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.
- Para recta definida por su ecuación reducida
Obsérvese que
==Demostración==, es decir sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortonormal - en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: ; y
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma , que puede simplificarse a
Busquemos un vector normal a (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir que el producto escalar , y resulta ser (de ahí el interés de la ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado que define una medida algebraica sobre la recta (M'M):
La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:
Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica así:
En conclusión: La distancia entre M y (D) es:
Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.
- En el caso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y su ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica:
- D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0, luego, sabiendo que el vector es unitario:
- Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo y b = 0. Como , se obtiene:
- En el caso de una recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la ecuación cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es:
- Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior.
Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el espacio tridimensional: Si la ecuación del plano es ; y el punto es entonces:
Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia entre un punto y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo cuantas variables hagan falta.
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