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La '''distancia''' expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar una relación de alejamiento afectivo entre dos personas: el desafecto. |
La '''distancia''' expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar una relación de alejamiento afectivo entre dos personas: el desafecto. |
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y nose mas! :D |
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[[Archivo:Manhattan distance.svg|thumb|right|Plano de Manhattan. La distancia euclidiana (segmento verde), no se corresponde con el «camino más corto» ente dos puntos de dicha ciudad, además de no ser único.]] |
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[[Archivo:ortodroma.svg|thumb|La menor distancia entre dos puntos recorrida sobre la superficie de una esfera es un arco de círculo máximo: la [[ortodrómica]].]] |
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En [[matemática]], la distancia entre dos puntos del [[espacio euclídeo]] equivale a la [[longitud]] del [[segmento]] de [[recta]] que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la [[geometría no euclidiana]], el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva. |
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En [[física]], la distancia es una [[magnitud física|magnitud]] [[escalar]], que se expresa en [[unidades de longitud]] o tiempo. |
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== Distancia en geometría == |
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Se denomina [[distancia euclídea]] entre dos [[punto (geometría)|punto]]s <math>A(x_1, y_1)</math> y <math>B(x_2, y_2 )</math> del plano a la longitud del [[segmento]] de [[recta]] que tiene por extremos <math>A</math> y <math>B</math>. Puede calcularse así: |
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:<math>d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math> |
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La distancia entre un punto <math>P</math> y una recta <math>R</math> es la longitud del segmento de recta que es perpendicular a la recta <math>R: Ax + By + C = 0 </math> y la une al punto <math>P(x_1, y_1)</math>. Puede calcularse así: |
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:<math>d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math> |
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donde |·| denota valor absoluto. |
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La distancia entre dos [[Paralelismo|rectas paralela]]s es la longitud del segmento de recta perpendicular a ambas que las une. |
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La distancia entre un punto <math>P</math> y un [[plano (geometría)|plano]] <math>L</math> es la longitud del segmento de recta perpendicular al plano <math>L : Ax + By + Cz + D = 0</math> que lo une al punto P (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) y puede calcularse así: |
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:<math>d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math> |
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== Definición formal == |
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Desde un punto de vista formal, para un [[conjunto]] de elementos <math>X</math> se define '''distancia''' o '''métrica''' como cualquier [[función matemática|función]] [[binaria]] <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique las siguientes condiciones: |
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* No negatividad: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math> |
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* [[Simetría]]: <math>d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X</math> |
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* [[Desigualdad triangular]]: <math>d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X</math> |
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* <math>\forall x \in X : d(x,x)=0</math>. |
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* Si <math>x,y \in X</math> son tales que <math>d(x,y)=0</math>, entonces <math>x=y</math>. |
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Si dejamos de exigir que se cumpla esta última condición, al concepto resultante se le denomina '''[[pseudodistancia]]''' o '''pseudométrica'''. |
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La distancia es el concepto fundamental de la Topología de Espacios Métricos. Un [[espacio métrico]] no es otra cosa que un par <math>(X,d)</math>, donde <math>X</math> es un conjunto en el que definimos una distancia <math>d</math>. |
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En el caso de que tuviéramos un par <math>(X,d)</math> y <math>d</math> fuera una pseudodistancia sobre <math>X</math>, entonces diríamos que tenemos un [[espacio pseudométrico]]. |
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Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico y <math>E \subset X</math>, podemos restringir <math>d</math> a <math>E</math> de la siguiente forma: |
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<math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de forma que si <math>x,y \in E</math> entonces <math>d'(x,y)=d(x,y)</math> (es decir, <math>d'=d|_{E \times E}</math>). La aplicación <math>d'</math> es también una distancia sobre <math>d</math>, y como comparte sobre <math>E \times E</math> los mismos valores que <math>d</math>, se denota también de la misma manera, es decir, diremos que <math>(E,d)</math> es subespacio métrico de <math>(X,d)</math>. |
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=== Distancia de un punto a un conjunto === |
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Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico, <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podemos definir la distancia del punto <math>x</math> al conjunto <math>E</math> de la siguiente manera: <math>d(x,E):= inf \{d(x,y): y \in E\}</math>. |
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Es de destacar las siguientes tres cosas: |
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* En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues <math>d</math> tiene por dominio <math>X \times X</math>, así que para cualquier <math>y \in E</math> existirá un único valor real positivo <math>d(x,y)</math>. Por la completitud de <math>\mathbb{R}</math> y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto. |
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* Si <math> x \in E</math> entonces <math>d(x,E)=0</math>. |
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* Puede ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, por ejemplo si <math>x</math> es un punto de adherencia de <math>E</math>. De hecho, la clausura de <math>E</math> es precisamente el conjunto de los puntos de <math>X</math> que tienen distancia 0 a <math>E</math>. |
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Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclídea. |
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=== Distancia entre dos conjuntos === |
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Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podemos definir la distancia entre los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la siguiente manera: <math>d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>. |
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Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además <math>d(A,A)=0</math>, pero puede ocurrir que <math>d(A,B)=0</math> y sin embargo <math>A \ne B</math>. Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas. Por ejemplo, el conjunto <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunto <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Por un lado, <math>A=cl(A)</math>, <math>B=cl(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por otro <math>d(A,B)=1</math>. |
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La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclídea. |
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== Véase también == |
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*[[Distancia de Mahalanobis]] |
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[[Categoría:Geometría]] |
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[[Categoría:Topología]] |
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[[Categoría:Matemática elemental]] |
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[[ar:مسافة]] |
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[[be-x-old:Адлегласьць]] |
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[[bg:Разстояние]] |
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[[ca:Distància]] |
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[[cs:Vzdálenost]] |
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[[da:Afstandsformlen]] |
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[[de:Abstand]] |
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[[en:Distance]] |
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[[eo:Distanco]] |
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[[et:Kaugus]] |
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[[eu:Luzera]] |
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[[fi:Välimatka]] |
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[[fr:Distance (mathématiques)]] |
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[[gl:Distancia]] |
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[[hu:Távolság]] |
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[[ia:Distantia]] |
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[[id:Jarak]] |
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[[io:Disto]] |
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[[is:Fjarlægðarformúlan]] |
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[[it:Distanza (matematica)]] |
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[[ja:距離]] |
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[[ko:거리]] |
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[[lb:Ofstand]] |
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[[mr:अंतर]] |
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[[ms:Jarak]] |
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[[nl:Afstand]] |
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[[no:Avstand]] |
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[[pl:Odległość]] |
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[[pt:Distância]] |
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[[ru:Расстояние]] |
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[[simple:Distance]] |
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[[sk:Vzdialenosť]] |
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[[sl:Razdalja]] |
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[[sv:Avstånd]] |
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[[th:ระยะทาง]] |
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[[uk:Відстань]] |
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[[ur:فاصلہ (ریاضی)]] |
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[[vi:Khoảng cách]] |
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[[yi:ווייטקייט]] |
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[[zh:距离]] |
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[[zh-classical:距]] |
Revisión del 16:04 6 jun 2009
La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar una relación de alejamiento afectivo entre dos personas: el desafecto.
y nose mas! :D