Diferencia entre revisiones de «Conmutatividad»
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Una operación binaria es '''conmutativa''' cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera. |
Una operación binaria es '''conmutativa''' cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera. |
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== Definición algebraica == |
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Sea E un [[teoría de conjuntos|conjunto]] en el cual se ha definido una operación binaria o ley de composición interna *, es decir una aplicación:<br /> |
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<center><math> \begin{matrix} E \times E & \longrightarrow & E \\ |
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(x,y) & \longmapsto & x \star y |
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\end{matrix} </math></center> |
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Se dice que * es '''conmutativa''' si verifica para todo (x,y) de E×E la igualdad '''x * y = y * x'''. Escrito formalmente: |
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<center><math>\forall (x,y) \in E^2, \quad x \star y = y \star x. </math></center> |
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[[Archivo:Conmutatividad_por_diagrama.png|left|diagrama correspondiente a la conmutatividad]] |
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Este diagrama ilustra la conmutatividad: '''p''' es la [[permutación y grupo simétrico|permutación]] de las variables ''x'' e ''y''. |
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Da el mismo resultado recorrer la flecha horizontal, es decir aplicar la operación * que recorrer la flecha vertical (permutar las variables) y luego la diagonal (aplicar * ).<br /> |
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Estos diagramas, donde el resultado no depende del trayecto sino sólo del punto de partida y el de llegada se llaman [[diagrama conmutativo|diagramas conmutativos]] (sí, con la misma palabra). Se suele indicar esta propiedad con un círculo inscrito en el "ciclo". |
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Por convención, si una operación se escribe con el símbolo '''+''', siempre se supone que es conmutativa. Esta convención no es válida para el producto '''×''' ni '''·''' pues, por ejemplo, el producto de [[matriz (matemática)|matrices]] '''no es''' conmutativo en dimensión superior a 1, ni el de los [[cuaterniones|números cuaterniones]]. El [[producto vectorial]] tampoco es conmutativo. |
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== Ejemplos == |
== Ejemplos == |
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Revisión del 00:03 25 feb 2010
Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
Ejemplos
- En el conjunto C de los números complejos, y por restricción, en el conjunto R de los números reales, la suma (adición) y el producto (multiplicación) son operaciones conmutativas.
- La suma en los espacios vectoriales es conmutativa.
- La suma de funciones también.
- La reunión y la intersección en la teoría de conjuntos y más generalmente la suma y el producto de las álgebras de Boole.
Generalización
Se generaliza el concepto a toda clase de aplicaciones (aquí el dominio y el codominio no tienen relación a priori) de dos ó más variables, y se habla de "simetría" en vez de conmutatividad:
- f, función de dos variables es simétrica si para todo (x,y), f(x,y) = f(y,x).
- Una función de n variables es simétrica si no cambia su valor cuando se permuta sus argumentos: con tres variables se obtiene:
Estas propiedades están contenidas en el diagrama conmutativo siguiente:
donde p es la permutación de dos variables, id es la aplicación identidad.
El diagrama se resume en: f o (p×id) = f o (id×p) = f, donde o denota la composición de las funciones.
- En álgebra lineal, existe un concepto "opuesto": la antisimetría, propiedad que dice que la permutación de dos variables implica un cambio de signo: f(y,x) = - f(x,y).
- El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.