Conjunto conexo

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Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topológico (donde es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es disconexo.

Formalmente, es un conjunto conexo si y sólo si

implica

Notar que si , entonces tendremos que es conexo si y sólo si implica . En este caso, se llama espacio topológico conexo.

Bajo estas definiciones, se tiene que es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Ejemplos[editar]

El espacio A es conexo.
El espacio B no lo es.

Conjuntos conexos[editar]

  • Las esferas son conexas
  • Un punto en es conexo
  • Un nudo es un conjunto conexo en
  • Un toro es un conjunto conexo en
  • En , un intervalo cerrado por la derecha o por la izquierda es un conjunto conexo; de igual modo un punto de la recta.
  • El complementario de un punto en es conexo

Subconjunto conexo en la recta[editar]

Sea provisto de la topología usual , además un intervalo de y subconjuntos abiertos de tales que es parte de la unión de y . Entonces . En este caso es un subconjunto conexo de la recta real.

  • Un subconjunto de la recta es un subconjunto conexo de la recta real cuando, y sólo cuando es un intervalo. De cualquier intervalo basta retirar un punto, lo que queda ya no es conexo, tampoco lo es el conjunto [1]

Conjuntos disconexos[editar]

  • El complementario de un punto en
  • El conjunto formado por la unión de dos esferas disjuntas en
  • Un enlace de componentes (nudos),

Propiedades de los conjuntos conexos[editar]

Se cumple que si es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: es un conjunto conexo si y solamente si para toda función continua, se cumple que es una función constante, donde a se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si es una familia de espacios topólogicos conexos (con un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces también es conexo, donde es la topología producto.

Por último, si no es conexo, es decir, si existen abiertos disjuntos no vacíos tales que su unión es , es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: será conexo si y sólo si los únicos clopen son y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Conexidad por caminos[editar]

Artículo principal: Espacio conexo por caminos

Diremos que un conjunto es conexo por caminos o arco conexo si dados existe un camino continuo tal que y .

Peine2.jpg

La conexidad por caminos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, , donde y . es conexo, pero no conexo por caminos.

Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquier subconjunto de éste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por caminos es conexa por caminos).

Componentes conexas[editar]

Dado un espacio topológico se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones:

  1. es conexo.
  2. Cualquier conjunto que contiene propiamente a es disconexo.

Se cumple que los componentes conexos de forman una partición de . Si es conexo, se tiene que es su única componente conexa.

Referencias[editar]

  1. Mansfiel: Introducción a la topología