Diferencia entre revisiones de «Cálculo de variaciones»
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El '''cálculo de variaciones''' es un [[problema matemático]] consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de [[funcional]]es continuos definidos sobre algún espacio funcional. |
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Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable. |
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== Formulación general == |
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Uno de los problemas típicos en [[cálculo diferencial]] es el de encontrar el valor de <math>x</math> para el cual la función <math> f(x) </math> alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una [[función (matemáticas)|función]] <math> f(x) </math> para la cual un [[funcional]] <math> I[f] </math> alcance un valor extremo. El funcional <math>I[f]</math> está compuesto por una integral que depende de <math>x</math>, de la función <math>f(x)</math> y algunas de sus derivadas. |
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<math>I[f]=\int_a^b f(x,p(r),c'(x),...)\,dx</math> |
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Donde la función <math>f(x)</math> pertenece a algún espacio de funciones ([[espacio de Banach]], [[espacio de Hilbert]]), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones. |
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Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a <math>x</math> ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para <math>f</math>. |
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== Problemas históricos == |
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=== Problema Isoperimétrico === |
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¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?. |
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Ejemplo: |
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Sean dos puntos <math>A=(a,0), B=(b,0)</math> en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir <math>AB = l</math>. El problema de hallar una curva que maximize el área entre ella y el eje x sería: |
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Hallar una función <math>f(x)</math> de modo que, |
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<math>I[f]=\int_a^b f(x) dx = </math> max |
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con las restricciones |
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<math>G[f] = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l </math> (longitud de arco) |
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<math>f(a) = f(b) = 0 </math> |
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=== Braquistócrona === |
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El problema de la curva [[braquistócrona]] se remonta a [[Jakob Bernoulli|J. Bernoulli]] (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto <math>P = (x_0,y_0) </math> al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de <math>P</math> al origen. Usando principios de [[mecánica clásica]] el problema puede formularse como, |
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<math>T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}} |
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{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx = </math> min |
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donde ''g'' es la gravedad y las restricciones son, <math>f(0)=0</math>, <math>f(x_0)=y_0</math>. Hay que notar que en <math>x=x_0</math> existe una [[singularidad]]. |
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== Véase también == |
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*[[Ecuaciones de Euler-Lagrange]]. |
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{{ORDENAR:Calculo de variaciones}} |
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[[Categoría:Cálculo]] |
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[[Categoría:Cálculo de variaciones| ]] |
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[[ar:حساب التغيرات]] |
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[[cs:Variační počet]] |
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[[de:Variationsrechnung]] |
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[[en:Calculus of variations]] |
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[[eo:Variada kalkulo]] |
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[[fa:حسابان تغییرات]] |
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[[fr:Calcul des variations]] |
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[[he:חשבון וריאציות]] |
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[[it:Calcolo delle variazioni]] |
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[[ja:変分法]] |
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[[ko:변분법]] |
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[[mt:Kalkulu tal-varjazzjonijiet]] |
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[[nl:Variatierekening]] |
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[[pl:Rachunek wariacyjny]] |
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[[pms:Càlcol dle variassion]] |
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[[pt:Cálculo de variações]] |
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[[ru:Вариационное исчисление]] |
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[[sk:Variačný počet]] |
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[[sl:Variacijski račun]] |
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[[sv:Variationskalkyl]] |
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[[uk:Варіаційне числення]] |
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[[zh:变分法]] |
Revisión del 22:06 8 mar 2010
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