Diferencia entre revisiones de «Cálculo de variaciones»
Contenido eliminado Contenido añadido
m robot Añadido: mt:Kalkulu tal-varjazzjonijiet |
Página reemplazada por «hola». |
||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
hola |
|||
El '''cálculo de variaciones''' es un [[problema matemático]] consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de [[funcional]]es continuos definidos sobre algún espacio funcional. |
|||
Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable. |
|||
== Formulación general == |
|||
Uno de los problemas típicos en [[cálculo diferencial]] es el de encontrar el valor de <math>x</math> para el cual la función <math> f(x) </math> alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una [[función (matemáticas)|función]] <math> f(x) </math> para la cual un [[funcional]] <math> I[f] </math> alcance un valor extremo. El funcional <math>I[f]</math> está compuesto por una integral que depende de <math>x</math>, de la función <math>f(x)</math> y algunas de sus derivadas. |
|||
<math>I[f]=\int_a^b f(x,p(r),c'(x),...)\,dx</math> |
|||
Donde la función <math>f(x)</math> pertenece a algún espacio de funciones ([[espacio de Banach]], [[espacio de Hilbert]]), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones. |
|||
Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a <math>x</math> ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para <math>f</math>. |
|||
== Problemas históricos == |
|||
=== Problema Isoperimétrico === |
|||
¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?. |
|||
Ejemplo: |
|||
Sean dos puntos <math>A=(a,0), B=(b,0)</math> en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir <math>AB = l</math>. El problema de hallar una curva que maximize el área entre ella y el eje x sería: |
|||
Hallar una función <math>f(x)</math> de modo que, |
|||
<math>I[f]=\int_a^b f(x) dx = </math> max |
|||
con las restricciones |
|||
<math>G[f] = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l </math> (longitud de arco) |
|||
<math>f(a) = f(b) = 0 </math> |
|||
=== Braquistócrona === |
|||
El problema de la curva [[braquistócrona]] se remonta a [[Jakob Bernoulli|J. Bernoulli]] (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto <math>P = (x_0,y_0) </math> al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de <math>P</math> al origen. Usando principios de [[mecánica clásica]] el problema puede formularse como, |
|||
<math>T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}} |
|||
{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx = </math> min |
|||
donde ''g'' es la gravedad y las restricciones son, <math>f(0)=0</math>, <math>f(x_0)=y_0</math>. Hay que notar que en <math>x=x_0</math> existe una [[singularidad]]. |
|||
== Véase también == |
|||
*[[Ecuaciones de Euler-Lagrange]]. |
|||
{{ORDENAR:Calculo de variaciones}} |
|||
[[Categoría:Cálculo]] |
|||
[[Categoría:Cálculo de variaciones| ]] |
|||
[[ar:حساب التغيرات]] |
|||
[[cs:Variační počet]] |
|||
[[de:Variationsrechnung]] |
|||
[[en:Calculus of variations]] |
|||
[[eo:Variada kalkulo]] |
|||
[[fa:حسابان تغییرات]] |
|||
[[fr:Calcul des variations]] |
|||
[[he:חשבון וריאציות]] |
|||
[[it:Calcolo delle variazioni]] |
|||
[[ja:変分法]] |
|||
[[ko:변분법]] |
|||
[[mt:Kalkulu tal-varjazzjonijiet]] |
|||
[[nl:Variatierekening]] |
|||
[[pl:Rachunek wariacyjny]] |
|||
[[pms:Càlcol dle variassion]] |
|||
[[pt:Cálculo de variações]] |
|||
[[ru:Вариационное исчисление]] |
|||
[[sk:Variačný počet]] |
|||
[[sl:Variacijski račun]] |
|||
[[sv:Variationskalkyl]] |
|||
[[uk:Варіаційне числення]] |
|||
[[zh:变分法]] |
|||
Revisión del 22:05 8 mar 2010
hola