The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler transformed series 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · · is depicted at the bottom of the diagram. The conclusion is that the Euler sum of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is 1/2-1/4 = 1/4.
Only the first four terms of the series are shown. A white disk represents +1; a reddish disk represents −1. The units are grouped on top of each other as they occur within the terms of the series.
Let a = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · be the original formal series. Let S be the shift operator on formal series,
Let T be the average between S and the identity operator:
Then given a series a, if it converges, then its sum is the same as the sum of the series
The Euler summation procedure has many descriptions, but for the present purposes it can be described as a repetition of the above "process". To be precise, the nth term of the Euler transformed series is
See eq. (20.3) of Korevaar, Jacob (2004) Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer, pp. 326 ISBN3-540-21058-X
To compute this transform in place, one pulls half of each term into the next term, then fixes the first term, then repeats.
The part of the diagram with the four green stripes indicates taking half of every term in the original series a and pulling it into the next term. Most of the units cancel, leaving the series
The first term of this series is fixed, leaving
The process repeated upon the remaining terms, leaving 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. Now two terms are fixed, and the remaining terms are all zero, so all further applications of T do not change the series, and they are not depicted. In the visual language, subsequent green stripes pull on nothingness.
The result is the Euler transformed series, 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. It is convergent, having only two nonzero terms, and its sum is 1/2 − 1/4. The diagram does not distinguish between the finite series and its sum. As a number, 1/2 − 1/4 = 1/4.
The above is done to illustrate how Euler summation works on the series. In practice, one exploits auxiliary quantities, and the computation is much easier; see for example Image:Pm1234-Euler1755.png. An extended description of Euler's procedure on 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, including reversing its alternation and taking iterated forward differences, is at w:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·#Euler and Borel.
Licencia
Yo, titular de los derechos de autor de esta obra, la publico en los términos de las siguientes licencias:
Se autoriza la copia, distribución y modificación de este documento bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU, versión 1.2 o cualquier otra que posteriormente publique la Fundación para el Software Libre; sin secciones invariables, textos de portada, ni textos de contraportada. Se incluye una copia de la dicha licencia en la sección titulada Licencia de Documentación Libre GNU.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue
de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo
de remezclar – de adaptar el trabajo
Bajo las siguientes condiciones:
atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo.
compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original.
Esta etiqueta de licencia fue agregada a este archivo como parte de la actualización de la licencia GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue
de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo
de remezclar – de adaptar el trabajo
Bajo las siguientes condiciones:
atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo.
compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original.
{{vector version available|Pm1234 Euler.svg}} == Summary == Euler summation of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · to 1/2-1/4. The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler