Probability density function of the Pearson type VII distribution
The red curve shows the limiting density with infinite kurtosis; the blue curve shows the density with kurtosis equal to 2; the black curve shows the limiting (normal) density with kurtosis identically zero.
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Background
The Pearson type VII family of probability densities is a special case of the type IV family restricted to symmetric densities. The probability density function is given by
All densities in this family are symmetric with zero mean. Setting makes the variance equal to unity. Then the only free parameter is m, which controls the fourth moment (and cumulant) and hence the kurtosis. One can reparameterize with where k is the kurtosis to obtain a one-parameter leptokurtic family with zero mean, unit variance, zero skew, and arbitrary positive kurtosis k.
In the limit as one obtains the density
shown as the red curve. In the other direction as one obtains the standard normal density as the limiting distribution, shown as the black curve.
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