Índice de poder de Shapley-Shubik

El índice de poder de Shapley-Shubik fue formulado por Lloyd Shapley y Martin Shubik en 1954​ para medir las competencias de los jugadores en un juego de votación. El índice a menudo revela sorprendente información sobre la distribución de poder que no es evidente en la superficie.

Los componentes de un sistema de votación, tales como órganos legislativos, ejecutivos, accionistas, legisladores individuales, y así sucesivamente, se pueden ver como los participantes en un juego de n jugadores, donde los jugadores con las mismas preferencias forman coaliciones. A cualquier coalición que cuenta con suficientes votos para aprobar un proyecto de ley o de elegir a un candidato se le llama ganadora, y a las demás se las denomina perdedoras. Basándose en el valor de Shapley, Shapley y Shubik concluyeron que el poder de una coalición no era simplemente proporcional a su tamaño, sino que se mide por la fracción de las posibles secuencias de voto en las que la coalición emite el voto decisivo, es decir, el primer voto que garantiza el éxito o el fracaso.​

El índice de poder se normaliza entre 0 y 1. Un índice igual a 0 significa que la coalición no tiene efecto alguno en el resultado del juego, mientras que un valor de 1 denota una coalición que determina el resultado de la votación. La suma de las potencias de todos los jugadores es siempre igual a 1.

Ejemplo

Supongamos que las decisiones son tomadas por una mayoría, en una población conformada por los individuos A, B, C, D, que tienen 3, 2, 1 y 1 votos, respectivamente. El umbral donde ya hay una mayoría de votos es de 4. Hay por lo tanto 4! = 24 posibles órdenes de estos miembros para votar:

ABCD	ABDC	ACBD	ACDB	ADBC	ADCB
BACD	BADC	BCAD	BCDA	BDAC	BDCA
CABD	CADB	CBAD	CBDA	CDAB	CDBA
DABC	DACB	DBAC	DBCA	DCAB	DCBA

Para cada secuencia de voto, el elector pivote -está en negrita- es el votante que primero plantea la suma acumulada de 4 o más. Aquí, A es fundamental en 12 de las 24 secuencias. Por lo tanto, A tiene un índice de poder de un 1/2. Los otros votantes tienen un índice de potencia 1/6, ya que son decisivos solamente en 4 de las 24 votaciones. Curiosamente, B no tiene más poder que C y D, pese a tener un mayor número de votos. Cuando se considera que el voto de uno determina el resultado a menos que los demás se unan contra A, queda claro que B, C, D desempeñan funciones idénticas. Esto se refleja en los índices de poder.

Supongamos que en otro proceso votación por mayoría, hay una norma donde hay $2n+1$ miembros, en los que un miembro tiene un gran número, digamos $k$ votos y el restante $2n$ de los miembros tienen un voto cada uno. A continuación, resulta que el poder del miembro con más votos es ${\dfrac {k}{2n+2-k}}$. Conforme $k$ aumenta, aumenta su potencia de manera desproporcionada, hasta que se acerca la mitad del total de votos y gana prácticamente todo el poder. Este fenómeno ocurre con frecuencia a los grandes accionistas y adquisiciones empresariales.

Referencias

• Datos: Q2915939