Usuario discusión:Apwith~eswiki

Bueno, en caso de que Diego quiera borrar mi comentario de su area de discusion, lo pongo aca a manera de archivo:

Hola! Espero que no te tomes a mal mi comentario, supongo que si pones aqui esta demostracion es porque quieres ver si alguien encuentra el error, asi que todos mis comentarios son de buena fe. Ademas, disculpa mi falta de un teclado en espanyol.

Primero aclaro que hay varios errores de notacion y nomenclatura que me dificultaron leer la demostracion, pero no me atore en ellos porque senyalartelos no te hubiera convencido de nada.

El inciso A es obviamente correcto, pero los incisos B y C no estan bien planteados, asi que voy suponer que el autor se refiere a lo siguiente: La orbita de un numero natural positivo [natural positivo par] bajo la iteracion de la funcion 3n+1 [n/2] es un sucesion que converge al 4 [1]. La demostraciones que da son limites, que son esencialmete correcto [conforme n(i) tiende a 1, 3n(i)-1 tiende a 2, pero 3n(i)+1 si tiende a 4], pero no implican lo que supongo que quiere demostrar. [Esto se oscurece un poco por lo vago del planteamiento, ya que una funcion no es una sucecion, y por lo mismo no tiende a nada, y la sucesion nunca la hace explicita.] De hecho, mas o menos parte de lo que quiere demostrar, al suponer que tiene sucesiones que convergen a 1 y 2 respectivamente.

B es el mas trivialmente falso de los dos incisos, pero como parece no usarlo en la demostracion, empezare con C. La unica orbita que llega a 2 bajo la funcion n/2 es la que consta de las potencias de 2, y claro que al iterar la funcion una vez mas pasamos del 2 al 1, es decir, demostro que si la orbita llega al 2, entonces llega al 1. [Pues claro! Y no necesitaba un limite, sino unicamente aplicar la funcion una vez mas.] Lo que queria demostrar [se puede ver que queria demostrar esto por como lo usa en el argumento final] era que partiendo de un entero positivo par arbitrario n [si se quiere demostrar no se puede suponer nada a priori sobre su orbita] e iterando la funcion n/2 se llega al 2, y de ahi al 1. Primero un contraejemplo para convencerte: la orbita de 10 es (10,5). El meollo del asunto es que esta funcion regresa valores fuera de su dominio [conjunto sobre el que se define]. En general, un par positivo es de la forma p2^m, donde m es un entero positivo y p es un primo o 1, entonces la orbita de la funcion se detiene en 1 cuando p=2 o p=1 [las potencias de 2], pero se detiene en p cuando p es un primo impar.

El caso de C es mas extranyo, y quizas por eso parece no usarlo en el argumento final, ya que hasta intuitivamente es falso.

n < 3n-1 < 3n +1 siempre que n sea un entero positivo [seria falso para 0]

Estas funciones [3n-1 y 3n+1] son estrictamente crecientes [toman un valor estrictamente mayor que el numero al cual se aplican] en los enteros positivos. En los enteros positivos estas funciones divergen hacia el infinito positivo, la razon la esbozo abajo.

La orbita de cualquier entero bajo cualquier funcion estrictamente monotona [estrictamente creciente o estrictamente decreciente] es divergente [ni converge ni es ciclica]. Es un resultado trivial en sucesiones, y no voy a ahondar mucho en el [por razones de espacio y excesiva formalidad], pero la razon es basicamente que cualquier sucesion convergente en los enteros es eventualmente constante. De hecho, cualquier sucesion acotada [no divergente] es ciclica [si consideramos la convergencia como un ciclo de periodo 1]. En un ciclo el valor sube y baja, por lo tanto una orbita ciclica no puede venir de una funcion monotona.

Como veras, parte del problema de la demostracion es que la oscurece la notacion. Una sucesion decreciente en los enteros positivos es necesariamente finita. En este caso [que suele denotarse n(i) con i<=m] la 'sucesion' tiende a su ultimo valor, n(m), por lo tanto el limite cuando i tiende a m de la funcion f es trivialmente f(n(m)). Cierto, pero no tiene sentido hablar de limites en sucesiones finitas. Cuando usamos notacion inecesariamente complicada, esta tiende a oscurecer el argumento. Otra parte del problema es la nomenclatura, y el articulo principal sobre la conjetura de Collatz en ingles tiene un problema similar, asi que el autor tiene buena companyia. Hablar de convergencia en sucesiones finitas no es per se erroneo, pero se presta a la confusion, porque estamos pensando entonces solamente en el valor final. Cuando consideras un trozo de una orbita como una sucesion finita, pues puedes decir que converge [si adoptamos esta nomenclatura entonces toda sucesion finita converge, lo cual en si ya te deja ver que no significa mucho], pero eso no implica que la orbita entera sea convergente. Incluso en el caso de que la orbita tambien sea finita, podria acabar en un valor distinto al de un trozo de la misma, algo que seria fuertemente contraintuitivo. El caso es que una sucesion usualmente se define como la imagen de los naturales en algun espacio, y definida asi tenemos que si una sucesion converge, entonces toda subsucesion converge al mismo limite.

Finalmente llegamos a la parte mas controversial de mis comentarios. No dudo que tengas razon en que haya ejemplos de no especialistas que hayan encontrado resultados sorprendentes. Pero entre mas buscado es un resultado, pues mayor probabilidad hay de que los especialistas hayan buscado exhaustivamente la aplicacion de las herramientas sencillas a la obtencion del resultado. Obviamente esto no significa que sea imposible que se les haya ido algo, y tambien hay resultados sorprendentes esperando por ahi sin ser activamente buscados, en cuyo caso es mucho mas facil que vengan de herramientas sencillas. Fractales como el mismo de Collatz o el de Mandelbrot vienen de la aplicacion relativamente sencilla de conceptos bastante viejos. [Aun asi, se piensa que el campo no surgio hasta que habia computadoras disponibles por la dificultad de repetir un calculo sencillo hasta el hartazgo.] Son este tipo de metarazonamientos los que llevan a mucha gente a suponer que [Pierre Fermat] seguramente estaba errado al creer que tenia una demostracion sencilla de su famosa conjetura.

Bueno, espero que mi comentario sea de tu agrado y sobre todo que te sea de utilidad. Lo hice un poco extenso con el afan de disipar cualquier duda.

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00:01 18 mar 2015 (UTC)

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07:54 21 abr 2015 (UTC)