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Introducción

El péndulo de Kater surgió por la necesidad de realizar medidas gravimétricas precisas que permitiesen un buen conocimiento del terreno (muy útil en cartografía y, topografía y prospección minera). Básicamente consistía en un péndulo físico o compuesto que constaba de dos cuchillas enfrentadas que servían como ejes alternativos de suspensión (O y O’) y dos masas todas ellas desplazables a lo largo de una varilla. La principal ventaja de este péndulo fue que no era necesario calcular el centro de masas sino encontrar para qué disposición de las masas desplazables, los períodos de oscilación en ambas cuchillas (O y O’) se igualaban. Posteriormente, midiendo la distancia entre las cuchillas, se obtenía l que es la longitud del péndulo simple equivalente.

En la actualidad, la medición de la gravedad se realiza por medio de acelerómetros absolutos o de caída libre y relativos o de muelle metálico.(Fomento.es enlace)

Historia

Breve biografía de Henry Kater

Figura 1: Péndulo de Kater perteneciente a la Universidad Politécnica de Madrid

Henry Kater (Bristol, 16 de abril de 1777 - Londres, 26 de abril de 1835) fue un físico y militar inglés. Henry Kater tuvo una importante carrera militar, siendo capitán en el ejercito británico. Pero resaltó por sus numerosas investigaciones científicas llevadas a cabo para mejorar la precisión de los sistemas de medición, innovaciones en el terreno de la astronomía y como máximo exponente la invención del péndulo reversible que lleva su nombre para la mejora de la medición de la aceleración de la gravedad.[poner los enlaces]

Origen del péndulo de Kater

El péndulo de Kater responde a un encargo de la Royal Society a Henry Kater. Este encargo consistía en determinar la longitud de un péndulo de segundos (péndulo cuyo periodo es de dos segundos, un segundo para oscilar en un sentido y otro segundo para la oscilación de retorno). El péndulo original está formado por una barra metálica rígida provista de dos cuchillas, con sus bordes enfrentados. Las cuchillas, apoyadas por sus bordes sobre un soporte rígido y robusto, sirven de ejes de suspensión. Consta también de dos discos metálicos que pueden desplazarse a lo largo de la barra del péndulo. El disco de menor masa está situado en uno de los extremos de la barra, fuera de la zona de las cuchillas; el otro disco más pesado, está colocado entre ellas. De esta forma, se obtendrán dos periodos de oscilación según la cuchilla que se utilice como eje de suspensión. Normalmente el disco de mayor masa se mantiene fijo, mientras que el disco de menor masa se va desplazando hasta que los dos periodos de coincidan (figura 1). Kater determinó la longitud de la varilla y las masas de los discos en función del valor de la aceleración de la gravedad que se conocía en Londres . El péndulo puede usarse para determinar la aceleración de la gravedad con gran precisión en un punto concreto de la superficie terrestre conociendo la longitud de la barilla. Como la Tierra no es una esfera perfecta, la gravedad varía entre los polos y el Ecuador. A raíz de este experimento, Kater y otros investigadores calcularán la gravedad local en diferentes regiones del mundo, como lo hicieron otros países, lo que les permitirá comprender mejor la figura de la Tierra. Los resultados obtenidos por el péndulo de Kater en la medida de la aceleración de la gravedad sirven, entre otras cosas, para estudiar las formaciones geológicas y poder así encontrar minerales con facilidad.

El péndulo de Kater en la actualidad

Hoy en día el péndulo de Kater queda reservado para el uso académico, debido a la evolución de la forma de medición de la aceleración de la gravedad. Ahora se emplean gravímetros para realizar dicha medición. Un gravímetro mide el valor de la aceleración de la gravedad g en la superficie de la tierra. Los mas utilizados son los de caída libre de una carga testigo (acelerómetro) o de muelle metálico que hace oscilar una masa(Enlace geovirtual.cl).

http://www.geovirtual.cl/EXPLORAC/TEXT/06004grav.htm

Investigaciones paralelas

Kater fue uno de los científicos europeos que contribuyeron al desarrollo de la gravimetría. Otro investigador notable en este campo fue Friedrich W. Bessel, matemático y astrónomo alemán, que simplificó el método de Kater para la obtención de la aceleración de la gravedad. De acuerdo con el método de Bessel no era necesario que los períodos de oscilación T y T′ fueran iguales, sino tan solo que hubiese una pequeña diferencia entre ambos como demostró matemáticamente a partir de una de las expresiones del péndulo compuesto. En España, los primeros trabajos reconocidos por la Asociación Internacional de Geodesia fueron los realizados por Joaquín María Barraquer y Rovira [1]. Para ellos empleó un péndulo de Repsold que se construyó basándose en los cálculos de Bessel. Barraquer realizó las primeras medidas en los antiguos locales del Instituto Geográfico y Estadístico de la calle Jorge Juan número 8 de Madrid durante el año 1877. A éstas siguieron las realizadas en la biblioteca del Observatorio Astronómico de Madrid en los años 1882 y 1883, empleando para ello esta vez dos aparatos de péndulo de Bessel fabricados por Repsold, uno grande y otro pequeño. La determinación de la longitud del péndulo matemático fue certificada por el BIPM (Bureau International des poids et mesures) de Sèvres, París. Así se obtuvo el primer valor absoluto de la gravedad en Madrid con un error de 1,6 miligales. Este valor fue de g= 9.800156 ± 0.000016 ms^-2.

[1] http://www.fomento.es/NR/rdonlyres/bc5c9110-747a-435e-8045-3197e1bfd10d/25350/enrique2005.pdf

Fundamento Teórico

Péndulo Físico:

El Péndulo Físico es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo, que oscila sobre un plano vertical. Cuando se separa un ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso mg, que tiene signo contrario al desplazamiento. La ecuación de la dinámica de rotación es la siguiente:

(1)$I_{0}\alpha =-mgx\operatorname {sen} \theta \,$

Donde I_O es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O; h es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O, como se puede apreciar en la Figura 2.

Figura 2: Péndulo físico

Expresando la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial obtenemos:

(2)${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{mgx \over I_{0}}\sin \theta =0\,$

Si la amplitud es pequeña, podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radio sinθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces:

(3)${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{mgx \over I_{0}}\theta =0\,$

Que corresponde a la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo T:

(4)$w^{2}={mgx \over I_{0}}\,$

(5)$T=2\pi {\sqrt {I_{0} \over Mgx}}\qquad \,$

Por el Teorema de Steiner

(6)${{I_{0}}={I_{c}}+{mh^{2}}={mR^{2}}+{mh^{2}}}\,$

Donde I₀ es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el c.d.m. y R se denomina radio de giro.

Para una varilla R² = l² / 12 siendo l la longitud de la varilla. Y su periodo el siguiente:

(7)$T=2\pi {\sqrt {R^{2}+h^{2} \over gh}}\qquad \,$

Figura 3.1: Curva de doble rama, T(h), con la longitud equivalente (λ, λ'). Se toma como origen el centro de masas.

Figura 3.2: Curva de doble rama, T(h), con el radio de giro (K, K'). Se toma como origen el centro de masas.

Cuando se representa T en función de h , aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas como podemos observar en la Figura 2. En ella también se puede apreciar que se pueden tener hasta cuatro posiciones del péndulo con igual periodo como se justificará más adelante. Esta propiedad se usará para determinar la longitud equivalente l del péndulo.

El periodo alcanza un valor infinito para h =0, es decir, cuando coincide el centro de masas con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de h que se puede calcular derivando T respecto de h e igualando a cero.

(8)${dT^{2} \over dh}=4\pi ^{2}{2gh^{2}-(R^{2}+h^{2})g \over g^{2}h^{2}}=0\,$

(9)$h_{n}=R\,$

(10)$T_{m}=2\pi {\sqrt {2R \over g}}\,$

La posición del mínimo R es el radio de giro del péndulo. Dado un valor de T podemos hallar dos valores con h>0 y otros dos con h<0, que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo. Para ello basta con elevar al cuadrado y agrupar en un sólo miembro las ecuaciones anteriores obteniendo una ecuación de segundo grado con h como incógnita:

(11)$h^{2}+{T^{2}g \over 4\pi ^{2}}h+R^{2}=0\,$

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado:

(12)$h+h'={T^{2}g \over 4\pi ^{2}}\,$

(13)$h.h'=R^{2}\,$

Midiendo en la gráfica h y h’ para un valor dado de T, obtenemos el valor de la aceleración de gravedad g con la ecuación [2]. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo $I_{c}=mR^{2}$ compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masas, una vez realizadas las medidas y calculado el centro de masas ecuación [6].

Si comparamos la expresión del periodo del péndulo físico, con la equivalente del péndulo simple:

(14)$T=2\pi {\sqrt {R^{2}+h^{2} \over gh}}\qquad T=2\pi {\sqrt {l \over g}}\qquad \,$

Se podría obtener un periodo equivalente en un péndulo simple de longitud l:

(15)$\lambda ={k^{2}+h^{2} \over h}={I_{o} \over mh}\,$

A este resultado le daremos el nombre de “longitud de péndulo simple equivalente”.

Péndulo reversible

El fundamento del péndulo reversible es el péndulo físico que se caracteriza por tener varias soluciones de la distancia al centro de masas que tienen el mismo periodo(figura 3 y ecuación 14). En la práctica significa, que podemos hacer oscilar al péndulo en torno a dos ejes paralelos situados a ambos lados respecto del centro de masas.

El centro de suspensión (O) es el punto de corte entre el eje de giro y el solido que oscila. Y el punto que se halla a una distancia (λ) (h +h’) se denomina centro de oscilación (O’). Si ahora hacemos pasar un eje de rotación paralelo al original por O’ ; O pasara a ser el centro de oscilación. Como ambos puntos son intercambiables reciben el nombre de puntos conjugados. Todo lo anterior se ve englobado por el Teorema de Huygens que enuncia: “La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de oscilación O’ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles. El período del péndulo será el mismo en ambos casos.”

Péndulo de Kater

Es un tipo concreto de péndulo que surge al combinar las propiedades del péndulo reversible con el péndulo compuesto. El péndulo de Kater consta de: una barra rígida a la que se le unen dos cuchillas (O y O’), y dos masas (m y m’). Una de las cuchillas se apoya sobre un soporte y se usará como centro de suspensión mientras la otra se dejará libre y se usará como centro de oscilación. El montaje respondería al siguiente esquema:

Figura 4: Péndulo de Kater

Desplazando la pesa exterior (m’) podemos llegar a una disposición de los elementos en la que se obtiene igualdad de periodos. En este instante O y O’ son puntos conjugados. Basándonos en el Método de Bessel si la diferencia entre periodos es suficientemente pequeña el error cometido al hallar g es despreciable, esto ahorra un arduo trabajo, aunque exije realizar algunas correciones en nuestras fórmulas matemáticas:

(16)${ghT^{2} \over 4\pi ^{2}}={h^{2}+k^{2}}\,$

(17)${gh'T'^{2} \over 4\pi ^{2}}={h'^{2}+k^{2}}\,$

Combinándolas llegamos a la siguiente expresión:

(18)${4\pi ^{2} \over g}={hT^{2}-h'T'^{2} \over h^{2}+h'^{2}}={T^{2}+T'^{2} \over 2(h-h')}+{T^{2}-T'^{2} \over 2(h-h')}\,$

Debido a que las masas de las pesas y las cuchillas no estan distribuidas de manera uniforme a lo largo de la barra el centro de masas no se encuentra en mitad de la misma.Por lo tanto, la diferencia entre h y h’, es muy grande comparada con la diferencia entre T y T’ por lo que podemos eliminar el segundo término de la fórmula anterior sin cometer un gran error. La expresión final sería:

(19)$g=8\pi ^{2}{h+h' \over T^{2}+T'^{2}}\,$

Aplicación del péndulo de Káter. Medida de la aceleración de la gravedad

Medidas experimentales

Se han realizado medidas experimentales con varios péndulos de Kater de los que se emplean en los Laboratorios docentes (figura 4) en una escuela de ingeniería superior de Madrid. Como se observa en la figura, consta de una varilla, dos pesas y dos cuchillas. Las cuchillas se apoyan en un soporte que no aparece en la figura. El proceso experimental es el empleado habitualmente para determinar la aceleración de la gravedad con el péndulo reversible de Kater. Después de una serie de medidas previas de aproximación se sitúan las cuchillas en dos posiciones fijas llamadas O y O' (figura 5). La pesa fija se mantiene en la posición indicada y la pesa móvil recorre el espacio comprendido entre la cuchilla O y el extremo de la varilla y se toma como variable independiente la distancia de la pesa móvil al extremo de la varilla. Cuando el péndulo se hace oscilar en torno al eje O los periodos obtenidos se denominan T. Cuando el péndulo se hace oscilar en torno al eje O' los periodos obtenidos se denominan T' (ver el video adjunto). La finalidad de la doble medida, aprovechando la reversibilidad del péndulo, es la obtención dentro de la precisión experimental, de la igualdad de los períodos T y T'. Según se observa en la ecuación nº y en la figura nº3, la expresión T(h) tiene para el mismo periodo hasta cuatro posiciones del eje de oscilación. De todas las series de resultados obtenidos, se han seleccionado los más representativos y se muestran en la Tabla 1.

Figura 5: Descripción del péndulo de Kater empleado en las medidas.

Elaboración de resultados

En las Tablas 1 y 2 figuran los tiempos medidos para veinte oscilaciones en cada una de las posiciones de la masa móvil , para una forma de oscilación del péndulo (en ) y para la inversa (en ). Se toma como variable independiente la posición de la masa m1 medida con respecto al extremo de la varilla.

TABLA 1.Periodos para la Oscilación alrededor del eje que pasa por (O)

Posición $m_{1}$ (cm)	Tiempo 1 (s)	Tiempo 2 (s)	Tiempo 3 (s)	Tiempo Medio (s)	Periodo
65	31.50	31.67	31.63	31.600000	1.580000
64	30.72	30.90	30.78	30.800000	1.540000
63	30.06	30.22	30.06	30.112000	1.505600
62	29.50	29.66	28.83	29.330000	1.466500
61	28.58	28.75	29.05	28.793200	1.439660
60	28.01	27.97	28.60	28.193200	1.409660
59	27.70	27.88	27.90	27.826660	1.391333
58	26.81	27.00	27.04	26.950000	1.347500
57	26.60	26.53	26.50	26.543320	1.327166

TABLA 2.Periodos para la Oscilación alrededor del eje que pasa por (O´)

Posición $m_{1}$ (cm)	Tiempo 1 (s)	Tiempo 2 (s)	Tiempo 3 (s)	Tiempo Medio (s)	Periodo
65	28.12	28.31	28.23	28.220000	1.411000
64	27.88	27.97	27.75	27.866000	1.293300
63	27.78	27.82	27.78	27.793200	1.389660
62	27.38	27.26	27.62	27.420000	1.371000
61	27.20	27.16	27.24	27.200000	1.360000
60	27.06	27.10	27.09	27.083320	1.354166
59	26.78	26.88	26.84	26.833320	1.341666
58	26.69	26.39	26.84	26.640000	1.332000
57	26.30	26.50	26.40	26.400000	1.320000
56	26.13	26.28	26.31	26.240000	1.312000
55	26.00	26.19	26.00	26.062000	1.303100
54	25.84	25.90	25.84	25.860000	1.293000
53	25.50	25.72	25.88	25.700000	1.285000
52	25.44	25.33	25.55	25.440000	1.272000

Con los periodos obtenidos se construye la Tabla 3, donde se calcula la diferencia de periodos.

TABLA 3. Las dos primeras columnas representan los periodos respecto de O y O´

en función de la distancia h y la tercera la diferencia de éstos.

Posición $m_{1}$ (cm)	Periodo 1 (s)	Periodo 2 (s)	$\Delta$Periodo (s)
65	1.580000	1.411000	0.169000
64	1.540000	1.393300	0.146700
63	1.505600	1.389660	0.115940
62	1.466500	1.371000	0.095500
61	1.439660	1.360000	0.079660
60	1.409660	1.354166	0.055494
59	1.391333	1.341666	0.049667
58	1.347500	1.332000	0.015500
57	1.327166	1.320000	0.007166
56	1.301600	1.312000	-0.010400
55	1.278166	1.303100	-0.024934
54	1.260000	1.293000	-0.033000
53	1.244000	1.285000	-0.041000
52	1.227160	1.272000	-0.044840

Con los valores de la Tabla 3, se construye la figura 6 (Periodo en función de la posición de la masa), donde cada uno de los dos periodos T y T’ da origen a una curva, la T = f(h) y la T` = f(h) (ecuación 7 y figura 2). El corte de ambas determina el periodo común. En la figura aparece como el punto PT.

De la Tabla 3 se deduce que el periodo común corresponde a una situación próxima a la posición h = 57 cm.

Se ha realizado un ajuste de los puntos experimentales por sendos de orden 3. (se ha observado que un ajuste con un polinomio de orden dos, proporciona una menor resolución en el ajuste de los puntos experimentales):

Figura 6: Puntos experimentales de T y T' con las curvas ajustadas por un polinomio de orden 3.

T(h) = 0,0000163415946798394 h² - 0,00274725618499305 h³ + 0,163499411710926 h - 2,09807233117044

con un índice de correlación r² = 0,995285

T'(h) = -0,0000111237145208365 h³ + 0,00280949349181331 h² - 0,187033148029078 h + 4,91958674027195

con un índice de correlación r² = 0,986184

En la figura 6 se observa que el corte de las dos curvas determina el periodo común, que vale:

To = 1,318832623 s

así como la posición exacta de la masa variable m1 en el corte (56,67901648 cm).

Los errores correspondientes para los dos periodos, obtenidos a partir del error cuadrático medio, serán

[Fórmula] [Fórmula]

Y la media,

[Fórmula]

Corregida con el factor de corrección (t de student para n=14, f = 1,040)

[Fórmula]

Obteniendo un valor final para el periodo común:

[Fórmula]

Determinación de la aceleración de la gravedad

Longitud equivalente $\lambda \$ (figura 4) es O' - O, se obtienen para $\lambda \$,

(1)$\lambda \ \pm \ \Delta \ \lambda \ {=}430\pm \ 1mm$

por lo tanto

(1)$g{=}4\pi ^{2}{43 \over (1,31883262)^{2}}{=}975,99779cm/s^{2}$

El error del cálculo lo obtenemos por medio de la propagación de errores:

(1)$\Delta \ g{=}g({\Delta \ l \over l}+2{\Delta \ T \over T}=975,997779({0,1 \over 43}+2{0,02 \over 1,131883262}){=}34,696776cm/s^{2}$

El resultado final para la aceleración de la gravedad en Madrid es, por tanto:

(1)$g\pm \ \Delta \ g{=}9,8\pm \ 0,3m/s^{2}$

Comparación final con Barraquer (1877) y Vieira (1989)

Medidas pioneras en Madrid: Barraquer 1877

Figura 7: Péndulo de Repsold & Söhne usado por Barraquer

Si bien el primero en medir la aceleración de la gravedad en Madrid de manera rigurosa fue Gabriel Císcar en 1801, la referencia internacional más publicada y reconocida es debida a J. Barraquer. A Don Joaquín Barraquer, coronel de ingenieros, le encargaron, entre otras muchas cosas, la tarea de determinar la gravedad en Madrid en el período 1870-1890. Primero utilizó un único péndulo de inversión de Repsold que poseía el Instituto Geográfico y Estadístico, fundado en 1870, y realizó medidas en los antiguos locales del Instituto en la calle Jorge Juan número 8 de Madrid durante el año 1877. Posteriormente y con cuatro péndulos de inversión fabricados de nuevo por Repsold realizó la primera determinación absoluta de gravedad y utilizó para ello dos estaciones, el edificio ocupado por el Instituto Geográfico y el Real Observatorio Astronómico. La longitud del péndulo fue corroborada por la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, de París, y los tiempos contrastados con el reloj magistral del Observatorio Astronómico de Madrid.

En la Biblioteca del Real Observatorio de Madrid se encuentra el péndulo utilizado por Barraquer (Figura 7). Sus características son las siguientes:

• Nombre: Péndulo reversible;
• Área: Geofísica
• Firmado: Repsold & Söhne. Hamburgo. 1878.
• Dimensiones: Altura de 90 cm.
• Características técnicas: Péndulo simétrico de 73 cm de longitud y dotado de cuchillas fijas e intercambiables.

En el pilar sobre el que se asienta este instrumento (Biblioteca del Real Observatorio de Madrid) figura una placa con la inscripción:"Fuerza Gravedad G = 9m, 800156 ± 0m, 000016, determinada por D. Joaquín Barraquer y Rovira con los cuatro péndulos de inversión en los años 1882-1883".

Comparación de resultados

Para tener referencias adecuadas de medidas de la aceleración de la gravedad en Madrid con las que poder comparar , se da una medida actual, la obtenida con un gravímetro de caída libre con el que se obtienen medidas absolutas de la aceleración de la gravedad, con precisiones del orden de 10^-8 m/s². En 1989, Mäkinen y Vieira [ref 5] con el JILAG-5 midieron en el Valle de los Caídos un valor de

g= 979,88492699 ± 0,00000120 cm/s2

Finalmente recordamos las medidas pioneras de la aceleración de la gravedad g en Madrid, obtenidas por Barraquer (2002) [ref 6 ] con un péndulo reversible, obteniendo ya de manera muy precisa en 1877 un valor de

g= 980,0080 ± 0,0027 cm/s2

Enlaces y referencias

1. http://www.fomento.es/mfom/lang_castellano/direcciones_generales/instituto_geografico/geodesia/gravimetria/faqs.htm
2. http://www.df.unipi.it/~giudici/kater.pdf Artículo teórico sobre física de péndulos (en Inglés)
3. http://sydney.edu.au/museums/events_exhibitions/macleay_past/kater.shtml Vida de Henry Kater, construcción del péndulo, y otros péndulos basados en este (en Inglés).
4. http://www.fomento.es/NR/rdonlyres/bc5c9110-747a-435e-8045-3197e1bfd10d/25350/enrique2005.pdf Documento oficial del Estado en el cual con motivo del aniversario se hace un trabajo muy especifico sobre toda la historia del cálculo de la gravedad, en cuanto a su fundamento teorico, como a su historia en España.
5. http://personalpages.to.infn.it/~zaninett/projects/pendolo.pdf Artículo de investigación de M. Rossi and L. Zaninetti , del Central European Journal of Physics , vol. 3(4) ,pp.636–659, (2005). Sobre la relación cúbica entre periodo y posición de las masas en el péndulo de Kater.
6. http://digital.csic.es/bitstream/10261/24374/1/N181_1991.pdf Trabajo realizado por la Universidad Complutense de Madrid( Mäkinen y Vieira) sobre la medida y cálculo de G. (1991).
7. http://www.aagg.org.ar/gravimetria.pdf Medidas gravimétricas en Madrid y en España. Artículo del instituto Geográfico Nacional (2002).
8. http://www.svenhoek.com/Katers_Pendulum_7SJ1.html Teoría del péndulo de Kater, asi como de los errores tanto de cálculo como de fabricación.
9. http://www-app.etsit.upm.es/departamentos/fis/asignaturas/Guiones/manual%20final-2010.pdf Pedro Sánchez Sánchez, Vicente Alcober Bosch, Coral Duro Carralero, Pilar Mareca López y Ángel Sanz Sanz. Manual del laboratorio de Física General 1. Plan 2010. Madrid: Departamento de Física Aplicada a las Tecnologías de la Informacion, 2011. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación (UPM).
10. http://www.maplesoft.com/documentation_center Manual de usuario e instalación de software MAPLE”.
11. http://es.wikipedia.org/wiki/Ajuste_de_curvas Teoría sobre el ajuste de curvas.