Usuario:DioseLanzagorta/Taller

i in the complex or cartesian plane. Real numbers lie on the horizontal axis, and imaginary numbers lie on the vertical axis

El termino imaginary unit o unit imaginary number se refiere a una solución de la ecuación x² = -1. Por convención , la solución es generalmente denota i. Puesto que no hay real number con esta propiedad, se extiende a los números reales, y bajo el supuesto de que las propiedades familiares de la addition y multiplication (namely closure, associativity, commutativity y distributivity) continúan manteniendo de esta extensión , se generan los complex numberincluyendolos.

Los números imaginarios son un concepto mathematical importante, que amplía el real number sistema ℝ para el sistema de números complejos ℂ, que a su vez proporciona al menos una root para cada polynomial P no constante (x). (vea Algebraic closure y Fundamental theorem of algebra.) El término "imaginary" se utiliza porque no hay ningún real number que tiene un negativo square negativo.

Hay dos raíces cuadradas complejas de −1, a saber i y −i, así como hay dos raíces cuadradas complejas de todo número real distinto de zero, el cual tiene una double square root.

En contextos donde i es ambigua o problemático, j o el ι Griega se utiliza a veces (vea Alternative notations). En las disciplinas de electrical engineering e control systems engineering, la unidad imaginaria es a menudo denotado por j en lugar de i, porque i es comúnmente utilizado para referirse a la electric current.

Para la historia de la unidad imaginaria , ver el Complex number.

Definition

The powers of i return cyclic values:
... (repeats the pattern from blue area)
i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
... (repeats the pattern from the blue area)

El número imaginario i se define únicamente por la propiedad de que su square es −1:

$i^{2}=-1\ .$

Con i definido de esta manera, se deduce directamente de álgebra que i y −i son dos raíces square root de −1.

Aunque la construcción se llama "imaginary", y aunque el concepto de un número imaginario puede ser intuitivamente más difícil de comprender que la de un número real , la construcción es perfectamente válido desde un punto de vista matemático . Operaciones de números reales se pueden extender a los números imaginarios y complejos mediante el tratamiento de i como una cantidad desconocida , mientras que la manipulación de una expresión, y luego utilizando la definición de reemplazar cualquier aparición de i² con −1. Poderes Superior integrales de i también pueden ser reemplazados con −i, 1, i, or −1:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,$

Del mismo modo , como con cualquier número real distinto de cero :

$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,$

Como un número complejo, i se representa en rectangular form como 0 + i, que tiene un componente imaginario unidad y ningún componente real (i.e., the real component is zero). En polar form, i se representa como 1 e^iπ/2, tiene un absolute value (or magnitude) de 1 y un argument (or angle) of ^π/₂. En el complex plane (también conocido como el Cartesian plane), i es el punto ubicado a una unidad desde el origen a lo largo del eje imaginario (que está en un ángulo recto con el eje real).

i and −i

Ser un quadratic polynomial sin multiple root, la definición de la ecuación x² = −1 tiene two soluciones distintas, que son igualmente válidas y que resultan ser additive y multiplicative inverse de unos a otros. Más precisamente, una vez una solución de la ecuación i se ha fijado, el valor −i, que es distinto de i, es también una solución. Puesto que la ecuación es la única definición de i, parece que la definición es ambigua (más precisamente, no well-defined). Sin embargo, ninguna ambigüedad resulta siempre que una u otra de las soluciones que se elija y etiquetados como "i", con el otro y luego ser etiquetados como −i. Esto se debe a que, aunque −i y i no son quantitatively equivalentes (son negativos de la otra), no hay ninguna diferencia entre algebraic i y −i. Ambos números imaginarios tienen el mismo derecho a ser el número cuyo cuadrado es −1. Si todos los libros de texto de matemáticas y literatura publicada se refieren a los números imaginarios o complejas fueron reescritos con −i reemplazar todas las apariciones de +i (y por lo tanto todas las apariciones de −i fueron sustituidas por −(−i) = +i), todos los hechos y teoremas seguiría equivalentemente ser válida. La distinción entre las dos raíces de x x² + 1 = 0 con uno de ellos marcado con un signo menos es puramente una reliquia de notación; ni raíz puede decirse que es más primaria o fundamental que el otro, y ninguno de ellos es "positivo" o "negativo".

El problema puede ser muy sutil. La explicación más precisa es decir que, aunque el campo complejo field, definido como ℝ[x]/(x² + 1), (vea complex number) es unique up to isomorphism, es único hasta el isomorfismo , no es único hasta un isomorfismo único - hay exactamente 2 field automorphisms de ℝ[x]/(x² + 1) que mantienen cada número real fijo : la identidad y el automorfismo enviar x para −x. ver tambien Complex conjugate y Galois group.

Un problema similar surge si los números complejos se interpretan como 2 x 2 matrices (vea matrix representation of complex numbers), porque entonces tanto

$X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}$     y     $X={\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

son soluciones a la ecuación matricial

$X^{2}=-I=-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&\;\;0\\\;\;0&-1\end{pmatrix}}.\$

En este caso, los resultados de la ambigüedad de la elección geométrica de los cuales " dirección" alrededor del unit circle es la rotación "positiva ". Una explicación más precisa es decir que el grupo de automorphism group para el special orthogonal group TAN (2, ℝ) tiene exactamente 2 elementos - la identidad y el automorfismo que intercambia " CW " (a la derecha ) y (hacia la izquierda ) rotaciones " CCW ". Vea orthogonal group.

Todas estas ambigüedades pueden resolverse mediante la adopción de un definition of complex number, y explícitamente la elección de una de las soluciones de la ecuación para ser la unidad imaginaria . Por ejemplo, el par ordenado (0, 1), en la construcción habitual de los números complejos con vectores bidimensionales.

Proper use

La unidad imaginaria se escribe a veces √−1 en contextos avanzados de matemáticas (así como en los textos populares menos avanzadas). Sin embargo , el gran cuidado se debe tener al manipular fórmulas que involucran radicals. La notación está reservado , ya sea para el principal función de raíz cuadrada , que sólo se define para real x ≥ 0, o de la rama principal de la función de raíz cuadrada compleja. El intento de aplicar las reglas de cálculo de la directora (real ) función de raíz cuadrada para manipular la rama principal de la compleja función de raíz cuadrada producirá resultados falsos:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$    (incorrecto).

El intento de corregir el cálculo especificando tanto las raíces positivas y negativas sólo produce resultados ambiguos:

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$   (ambiguo).

Del mismo modo:

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {-1}}=i$    (incorrecto).

Las reglas de cálculo

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

y

${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}$

sólo son válidos para los valores reales, no negativos de a and b.

Estos problemas se evitan mediante la escritura y la manipulación de i√7, en lugar de expresiones como √−7. Para una discusión más a fondo , consulte Square root y Branch point.

Properties

Square roots

The two square roots of i in the complex plane

La raiz cuadrada de i puede expresarse como uno de los dos números complejos​

${\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Indeed, squaring the right-hand side gives

${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}$

This result can also be derived with Euler's formula

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

by substituting x = π/2, giving

$e^{i(\pi /2)}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=0+i1=i\,\!.$

Taking the square root of both sides gives

${\sqrt {i}}=\pm e^{i(\pi /4)}\,\!,$

which, through application of Euler's formula to x = π/4, gives

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\pm (\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4))\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}$

Similarly, the square root of −i can be expressed as either of two complex numbers using Euler's formula:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

by substituting x = 3π/2, giving

$e^{i(3\pi /2)}=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=0-i1=-i\,\!.$

Taking the square root of both sides gives

${\sqrt {-i}}=\pm e^{i(3\pi /4)}\,\!,$

which, through application of Euler's formula to x = 3π/4, gives

${\begin{aligned}{\sqrt {-i}}&=\pm (\cos(3\pi /4)+i\sin(3\pi /4))\\&=-{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+i{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {-1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1).\\\end{aligned}}$

Multiplying the square root of i by i also gives:

${\begin{aligned}{\sqrt {-i}}=(i)\cdot (\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i))\\&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1i+i^{2})\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1)\\\end{aligned}}$

Multiplication and division

Multiplying a complex number by i gives:

$i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.$

(This is equivalent to a 90° counter-clockwise rotation of a vector about the origin in the complex plane.)

Dividing by i is equivalent to multiplying by the reciprocal of i:

${\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.$

Using this identity to generalize division by i to all complex numbers gives:

${\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.$

(This is equivalent to a 90° clockwise rotation of a vector about the origin in the complex plane.)

Powers

The powers of i repeat in a cycle expressible with the following pattern, where n is any integer:

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

This leads to the conclusion that

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$

where mod represents the modulo operation. Equivalently:

$i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)$

i raised to the power of i

Making use of Euler's formula, iⁱ is

$i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$

where $k\in \mathbb {Z}$, the set of integers.

The principal value (for k = 0) is e^−π/2 or approximately 0.207879576...​

Factorial

The factorial of the imaginary unit i is most often given in terms of the gamma function evaluated at 1 + i:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

Also,

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}$​

Other operations

Many mathematical operations that can be carried out with real numbers can also be carried out with i, such as exponentiation, roots, logarithms, and trigonometric functions. However, it should be noted that all of the following functions are complex multi-valued functions, and it should be clearly stated which branch of the Riemann surface the function is defined on in practice. Listed below are results for the most commonly chosen branch.

A number raised to the ni power is:

$\!\ x^{ni}=\cos(\ln x^{n})+i\sin(\ln x^{n}).$

The ni^th root of a number is:

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln {\sqrt[{n}]{x}})-i\sin(\ln {\sqrt[{n}]{x}}).$

The imaginary-base logarithm of a number is:

$\log _{i}(x)={{2\ln x} \over i\pi }.$

As with any complex logarithm, the log base i is not uniquely defined.

The cosine of i is a real number:

$\cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064....$

And the sine of i is purely imaginary:

$\sin(i)=i\sinh(1)\,={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i\approx 1.17520119\,i....$

Alternative notations

• In electrical engineering and related fields, the imaginary unit is often denoted by j to avoid confusion with electric current as a function of time, traditionally denoted by i(t) or just i. The Python programming language also uses j to mark the imaginary part of a complex number. MATLAB associates both i and j with the imaginary unit, although 1i or 1j is preferable, for speed and improved robustness.​
• Some texts use the Greek letter iota (ι) for the imaginary unit, to avoid confusion, especially with index and subscripts.
• Each of i, j, and k is an imaginary unit in the quaternions. In bivectors and biquaternions an additional imaginary unit h is used.

Matrices

When 2 × 2 real matrices m are used for a source, and the number one (1) is identified with the identity matrix, and minus one (−1) with the negative of the identity matrix, then there are many solutions to m² = −1. In fact, there are many solutions to m² = +1 and m² = 0 also. Any such m can be taken as a basis vector, along with 1, to form a planar algebra.

See also

• Complex plane
• Imaginary number
• Multiplicity (mathematics)
• Root of unity
• Unit complex number

Further reading

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. 

External links

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence