Teorema de Ado
En álgebra abstracta, el teorema de Ado afirma que toda álgebra de Lie L de dimensión finita sobre un cuerpo K de característica cero puede ser visto como un álgebra de Lie de matrices cuadradas con la operación del conmutador de matrices. Más exactamente, el teorema afirma que L admite una representación ρ sobre K, en un espacio vectorial de dimensión finita V, que es una representación fiel, por la que el álgebra L es isomorfa al conjunto de endomorfismos de V.
Mientras que para álgebras de Lie asocaidas a los grupos clásicos no hay nada nuevo en esta afirmación, en el caso general se obtiene un resultado con mayores consecuencias. Aplicado al álgebra de Lie real de un grupo de Lie G, el teorema no implica que G admite una representación fiel (lo cual no es cierto en general), sin más bien que G siempre tiene una representación lineal que es un isomorfismo local con un grupo lineal. Este resultado fue demostrado en 1935 por Igor Dmitrievich Ado de la Universidad Estatal de Kazán, que era un estudiante de Nikolai Chebotaryov.
La rstricción sobre la característica, fue suprimida más tarde por Kenkichi Iwasawa y Harish-Chandra (véase en la sreferencias Gerhard Hochschild para esta demostración más general).
Referencias
- I. D. Ado, Note on the representation of finite continuous groups by means of linear substitutions, Izv. Fiz.-Mat. Obsch. (Kazan'), 7 (1935) pp. 1–43 (Russian language)
- Ado, I. D. (1947), «The representation of Lie algebras by matrices», Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en russian) 2 (6): 159-173, ISSN 0042-1316, MR 0027753. translation in Ado, I. D. (1949), «The representation of Lie algebras by matrices», American Mathematical Society Translations 1949 (2): 21, ISSN 0065-9290, MR 0030946.
- Iwasawa, Kenkichi (1948), «On the representation of Lie algebras», Japanese Journal of Mathematics 19: 405-426, MR 0032613.
- Harish-Chandra (1949), «Faithful representations of Lie algebras», Annals of Mathematics. Second Series 50: 68-76, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969352, MR 0028829.
- Hochschild, Gerhard (1966), «An addition to Ado's theorem», Proc. Amer. Math. Soc. 17: 531-533.
- Nathan Jacobson, Lie Algebras, pp. 202–203