Teoría del transporte radiativo

La teoría del transporte radiativo, también conocida como la teoría de la radiación, es una herramienta matemática que ayuda a entender la interacción entre materia (un medio como puede ser el gas) y la energía (como puede ser la luz). Desarrollada desde principios del Siglo XX, principalmente por Subrahmanyan Chandrasekhar.

Definición Matemática

La cantidad de energía $dI$ que pasa a través de un medio con una opacidad $\kappa_{\nu}$ y una emisividad $\epsilon_{\nu}$ en una distancia ds se define como

$\frac{dI}{ds} = \epsilon_{\nu} - \kappa_{\nu}I_{\nu}$

donde $I_{\nu}$ es la intensidad especifica. Si definimos la distancia ds en términos de la profundidad geométrica

$dx = ds\cos(\theta) = \mu ds$

y dividiendo entre $\kappa_{nu}$ tenemos

$\mu\frac{dI_{\nu}}{\kappa_{\nu}dS} = \frac{\epsilon_{\nu}}{\kappa_{\nu}} - \frac{I_{\nu}}{\mu}$

utilizando la ley de kirchoff y la definición de Profundidad Óptica llegamos

$\frac{dI_{\nu}}{d\tau} - \frac{S_{\nu}}{\mu}= - \frac{I_{\nu}}{\mu}$

donde $\tau$ es la profundidad óptica y $S_{\nu}$ es la función fuente.

Si multiplicamos por su factor integrante $\exp(-\tau/\mu)$ llegamos a la solución general de la teoría del transporte radiativo

$I_{\nu}(\tau_2) = I_{\nu}(\tau_{1})\exp(-(\tau_1-\tau_2)/\mu)-\frac{1}{\mu}\int_{\tau_1}^{\tau_2}S_{\nu}(\tau) \exp(-(\tau-\tau_2)/\mu)d\tau$

Dependiendo de los valores de frontera se pueden llegar a resultados clásicos. Por ejemplo, si suponemos que la función fuente es constante ($S_{\nu}(\tau) = C$), que la atmósfera es plano paralela infinita y solo tomamos en cuenta la emisión de propagación hacia el observador ($\mu=1$), entonces la emisión saliente ($I_{\nu}(\tau=0)$) será:

$I_{\nu} = I_{\nu}(\tau)\exp(\tau) +S_{\nu}(1 -\exp(-\tau))$