Sistema iterativo de funciones

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Compacto inicial y 6 iteraciones de un SIF formado por 3 aplicaciones contractivas. En la primera iteración el recuadro inicial se hace corresponder con la unión de los recuadros A, B y C.
Único punto fijo de la aplicación inducida por el anterior SIF, fractal al que se conoce como triángulo de Sierpinski. Obsérvese que está formado por la unión de 3 copias de sí mismo.

Un sistema iterativo de funciones (SIF o IFS acrónimo del inglés Iterated function system) es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntos fractales que presenten autosimilaridad. Muchos fractales clásicos autosimilares, autoafines y autoconformes pueden representarse como el único conjunto compacto invariante por un sistema iterativo de funciones contractivas.

Definición[editar]

Un sistema iterativo de funciones (SIF) sobre \R^n (se puede generalizar a cualquier espacio métrico completo) se define a partir de un conjunto finito de contracciones \{F_1,\dots, F_n\} con n \ge 2. El carácter contractivo de estas funciones implica que:

|F_i(x)-F_i(y)| \le r_i |x-y|, \quad r_i < 1

Si sobre un conjunto se aplican reiteradamente los anteriores aplicaciones contractivas (iterativamente), lo que resultará en un sistema iterativo de funciones (SIF).

Estas aplicaciones inducen una aplicación sobre el conjunto de partes del espaico métrico:

F:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X), \qquad F(A)= \bigcup_{i=1}^k F_i(A)

Una propiedad fundamental de los SIFs es que existe un "punto fijo" o que es un conjunto compacto E tal que:

E = \bigcup_{i=1}^n F_i(E)

Observamos que esta condición nos indica que el conjunto es igual a la unión de copias de sí mismo de menor tamaño. Por esa razón, frecuentemente ese conjunto es un conjunto fractal y su dimensión de Hausdorff D puede determinarse fácilmente, ya que es la única solución del sistema:

\sum_{i=1}^n r_i^D = 1

El conjunto de Cantor puede obtenerse como el "punto fijo" de un sistema iterativo de funciones. Dadas las dos funciones contractivas:

F_1,F_2:\R\to\R, \qquad F_1(x):= \frac{x}{3}, F_2(x):= \frac{x}{3} + \frac{2}{3}

De hecho, el conjunto de Cantor es el único conjunto compacto tal que:

K = F_1(K) \cup F_2(K)

Y por tanto su dimensión fractal puede calcularse fácilmente:

r_1^D + r_2^D = \left(\frac{1}{3}\right)^D + \left(\frac{1}{3}\right)^D =
2\left(\frac{1}{3}\right)^D =1 \quad \Rightarrow \quad D = \frac{\ln 2}{\ln 3}
\approx 0,630\dots

Distancia de Hausdorff[editar]

Si consideran todos los conjuntos compactos \scriptstyle \mathcal{K} de un espacio topológico se puede definir un espacio métrico \scriptstyle (\mathcal{K}, d_H) formado por dichos conjuntos y con la distancia de Hausdorff como función distancia de dicho espacio.

Puede comprobarse que el espacio métrico \scriptstyle (\mathcal{K}, d_H) es un espacio completo. Todo sistema iterativo de funciones permite definir una contracción en el espacio métrico anterior:

F:\mathcal{K}\to \mathcal{K}, \qquad F(K) = \cup_{i=1}^n F_i(K)

Esta función es la restricción a conjuntos compactos de la contracción inducida por el SIF. Como toda contracción presenta un punto fijo, la aplicación anterior presenta un "punto fijo" o atractor, es decir, un conjunto compacto invariante por la aplicación anterior. El atractor o punto fijo de la aplicación anterior puede representarse como:

\forall K \in \mathcal{K}: K_0 = \cap_{k=1}^\infty F_i(K), \quad K_0 = F(K_0)

O equivalentemente como límite de la sucesión:

(K, F(K), F(F(K)), \dots )

Dicho conjunto compacto usualmente es un conjunto fractal. La autosimilitud de K, una de las características de los fractales, se deriva de la condición de "punto fijo":

K_0 = F(K_0) \quad \Leftrightarrow \quad K_0 = F_1(K_0) \cup f_2(K) \cup \cdots \cup f_k(K),

en la que observamos que K estará formado por unión de k copias de sí mismo, posiblemente deformadas, y de menor tamaño (si las aplicaciones son contractivas), que pueden solaparse o no.

Dimensión del atractor de un SIF[editar]

Todo SIF tiene un atractor, o conjunto compacto invariante por el SIF que frecuentemente es un objeto fractal. La dimensión de dicho atractor puede calcularse de manera sencilla si se satisface la condición del conjunto abierto (CCA), es decir, que exista un conjunto abierto no vacío U \subset \R^n tal que:

\cup_{i=1}^k F_i(U) \subset U

Muchos fractales clásicos como la curva de Koch o la alfombra de Sierpiński satisfacen la CCA. Si las funciones del SIF son semejanzas, para el cálculo de la dimensión se tiene el siguiente teorema:

Si \scriptstyle K_0 el atractor de una familia o SIF de semejanzas contractivas \scriptstyle \{F_1,\dots,F_n\} donde la constante de Lipschitz para \scriptstyle F_i es \scriptstyle r_i<1 y si se satisface la condición de conjunto abierto CCA entonces se tiene la siguiente relación entre las dimensiones fractales (de Hausdorff-Besicovitch y Minkowski-Bouligand):
\dim_{HB} K_0 = \dim_{MB} K_0 = D\,
siendo la medida de Hausdorff finita y no nula para esa dimensión, y además se cumple que:
\sum_{i=1}^n r_i^D = r_1^D + \dots + r_n^D = 1

Esta última expreisón permite calcular la dimensión fractal (D) del atractor del SIF compuesto de n aplicaciones contractivas de factor de contracción ri, en caso de que estas no provoquen solapamiento o más generalmente satisfagan la CCA.

El problema inverso: Teorema del collage[editar]

Este teorema nos permite encontrar un SIF cuyo atractor esté todo lo próximo que deseemos (en el sentido de la distancia de Hausdorff) o coincida con un conjunto prefijado C.

El conjunto C puede expresarse como unión de tres versiones reducidas que llamaremos F1(C), F2(C) y F3(C). Para encontrar el SIF asociado debemos calcular la expresión de las fi.

Para hallar dicho SIF necesitamos encontrar un número suficiente de aplicaciones contractivas tales que la unión (collage) de las imágenes del conjunto bajo estas aplicaciones esté lo suficientemente próxima o coincida con el propio conjunto.

Como ejemplo, para conseguir un SIF cuyo atractor corresponda al conjunto fractal de la figura son necesarias 3 transformaciones:

  • La que lleva el conjunto total en el triángulo amarillo:
F_1(x,y)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)
  • La que lleva el conjunto total en el triángulo azul:
F_2(x,y)=\left(\frac{x}{2}+1,\frac{y}{2}\right)
  • La que lleva el conjunto total en el triángulo rojo:
F_3(x,y)=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2},\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\right)

Algoritmos de representación[editar]

Algoritmo determinista[editar]

Simplemente construye los sucesivos conjuntos {A, F(A), F(F(A)),...}. Como dicha sucesión converge al atractor del SIF independientemente del conjunto A de partida, puede usarse cualquier valor inicial, con frecuencia una caja cuadrada.

Fractal SIF construido mediante el algoritmo de iteración aleatoria.

Algoritmo de iteración aleatoria[editar]

En este algoritmo, también llamado "juego del caos", un punto que describe una danza aparentemente aleatoria va perfilando progresivamente la estructura del atractor. Para ello, se elige un punto x0 del espacio métrico y se forma una sucesión del siguiente modo: en cada paso se escoge aleatoriamente y con igual probabilidad

x_n \in \{F_1(x_{k-1}),\cdots , F_k(x_{k-1})\}

Se demuestra que la sucesión así formada "converge" al atractor del SIF.

Este algoritmo permite una generalización en que se asignan distintas probabilidades pi a la hora de escoger cada fi. Diferentes probabilidades permiten obtener diversas texturas y densidades, útiles para el modelado de escenas naturales. Un SIF en que cada función fi va acompañada de un número positivo pi de modo que p_1+ \cdots +p_n=1 se denomina SIF con probabilidades.

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • M. Barnsley. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9.
  • Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.. pp. Cap. 9. ISBN 0-470-84862-6. 
  • Falconer, Kenneth (1997). «2. Review of fractal geometry» (en inglés). Techniques in Fractal Geometry. John Wiley & Sons, Ltd.. pp. 29-36. ISBN 0-471-95724-0. 
  • M. de Guzmán y otros, Estructuras Fractales y Sus Aplicaciones, Editorial: Labor, Barcelona, 1993 ISBN: 8433551523