Problema de Plateau

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Ejemplo práctico del problema de Plateau con formas creadas con alambre y pompas de jabón.

En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie mínima con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimento con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.

Planteamiento[editar]

La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:

Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.

Se dan dos puntos P_1(x_1 , y_1) y P_2(x_2 , y_2) del plano xy. Sea x_1<\;x_2. Supongamos que y=y(x) es la ecuación de una curva que une los puntos P_1 y P_2, es decir,

y=y(x_1), y=y(x_2).

La curva gira alrededor del eje x barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función y(x) para la que la integral

S=2\pi\ \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx

(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos P_1 y P_2, se denominan catenoides.


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