Principio de buena ordenación

En matemáticas, el principio de buena ordenación afirma que en cualquier colección de números naturales existe un mínimo, es decir, un número más pequeño que el resto, siempre y cuando dicha colección no esté vacía. Esto diferencia al conjunto de los números naturales de otros conjuntos ordenados de números, como por ejemplo los números enteros o los números reales. El principio de buena ordenación es equivalente al principio de inducción: uno puede demostrarse a partir del otro.

Enunciado

Principio de buena ordenación En cualquier conjunto de números naturales A ⊆ N distinto del conjunto vacío, A ≠ ∅, existe un mínimo, es decir, un número n ∈ A menor o igual que cualquier número de A.

Otra manera de entender este principio es que si algún número natural posee una cierta propiedad (como ser primo, ser perfecto, etc.), siempre hay un primer número con esa propiedad.

Otros conjuntos ordenados de números no cumplen el principio de buena ordenación. Por ejemplo, en los enteros negativos Z⁻ = {..., −3, −2, −1} no puede encontrarse un mínimo.

Relación con el principio de inducción

Véase también: Principio de inducción

El principio de inducción afirma que si una colección de números naturales A incluye al 1 y, para cada número en la colección, el número siguiente también está incluido, entonces dicha colección es necesariamente la totalidad de los números naturales N. El principio de buena ordenación y el principio de inducción son equivalentes: cualquiera de ellos puede demostrarse partiendo del otro.

Buen orden

En relación con este principio, se afirma que los números naturales están «bien ordenados». En general, se denomina conjunto bien ordenado a cualquier conjunto de elementos matemáticos ordenados de tal manera que se cumpla el principio de buena ordenación.

Referencias

• Spivak, Michael (1996). Cálculo infinitesimal. Reverté. ISBN 978842915136.