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En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz.

Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+a22+a33 + . . . + ann, y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6. • La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a2 ,n−1 , a3,n−2 , . . ., an1 . En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3. 10 10 • Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. • Y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices: 11 11 • Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. • Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad ó identidad. Se

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento ai,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas. • Abreviadamente se puede expresar A = (aij) Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. • El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. 5 5 • A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es (2x2). Qué elemento es a21?. • B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es (2x3). Qué elemento es b23?. • C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es (4x3). Qué elemento es c42?.

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}

Los elementos individuales de una matriz m {\displaystyle m}

n {\displaystyle n} , se denotan a menudo por a i j {\displaystyle a_{ij}} , donde el máximo valor de i {\displaystyle i}

es

m {\displaystyle m} , y el máximo valor de j {\displaystyle j}

es

n {\displaystyle n} . Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Historia

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el año 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término «matriz» en 1848/1850.

En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

Introducción Definición

Una matriz es un arreglo p-dimensional de números (elementos de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m {\displaystyle m}

filas y

n {\displaystyle n}

columnas se le denomina «matriz

m {\displaystyle m}

por

n {\displaystyle n} » (escrito m × n {\displaystyle m\times n} ) donde m , n ∈ N − { 0 } {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} -\{0\}} . El conjunto de las matrices de tamaño m × n {\displaystyle m\times n}

se representa como

M m × n ( K ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )} , donde K {\displaystyle \mathbb {K} }

es el cuerpo al cual pertenecen los elementos de la matriz. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño (dimensión u orden) y los mismos elementos en las mismas posiciones. El elemento de una matriz que se encuentra en la fila i − {\displaystyle i-\,\!} ésima y la columna j − {\displaystyle j-\,\!} ésima se le llama elemento i , j {\displaystyle i,j\,\!}

o elemento

( i , j ) {\displaystyle (i,j)\,\!} -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Dos matrices A , B ∈ M m × n ( K ) {\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}

son iguales si los elementos correspondientes son iguales, es decir,

a i j = b i j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle a_{ij}=b_{ij},1\leq i\leq m,1\leq j\leq n} .

Para definir el concepto de matriz, el término "arreglo bidimensional" es útil, aunque poco formal, pero puede formalizarse usando el concepto de función. De este modo, una matriz de m filas y n columnas con entradas en un cuerpo K {\displaystyle \mathbb {K} }

es una función cuyo dominio es el conjunto de los pares ordenados

( i , j ) {\displaystyle (i,j)\,\!} , donde 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m}

1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} , y cuyo codominio es K {\displaystyle \mathbb {K} } . Con esta definición, la entrada i , j {\displaystyle i,j\,\!}

es el valor de la función en el par ordenado

( i , j ) {\displaystyle (i,j)\,\!} .

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.Por ejemplo, al elemento de una matriz A {\displaystyle A}

de tamaño

m × n {\displaystyle m\times n}

que se encuentra en la fila

i − {\displaystyle i-\,\!} ésima y la columna j − {\displaystyle j-\,\!} ésima se le denota como a i j {\displaystyle a_{ij}\,\!} , donde 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m}

1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} .

Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cual está indexada con un i {\displaystyle i\,\!}

o un

j {\displaystyle j\,\!}

con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz

A {\displaystyle A\,\!}

de tamaño

50 × 100 {\displaystyle 50\times 100}

se representa como

a 1 , 2 {\displaystyle a_{1,2}\,\!}

mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como

a 23 , 100 {\displaystyle a_{23,100}\,\!} .

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos.[cita requerida] Así A {\displaystyle \mathbf {A} }

es una matriz, mientras que

A {\displaystyle A\,\!}

es un escalar en esa notación. Sin embargo esta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer esta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. A := ( a i j ) {\displaystyle A:=(a_{ij})\,\!}

o incluso

A := a i j {\displaystyle A:=a_{ij}\,\!} .

Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño 1 × n {\displaystyle 1\times n}

mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño

m × 1 {\displaystyle m\times 1} .

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota M n ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}

Ejemplo

Dada la matriz A ∈ M 4 × 3 ( K ) {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{4\times 3}(\mathbb {K} )}

A = [ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 0 5 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\\\end{bmatrix}}}

es una matriz de tamaño 4 × 3 {\displaystyle 4\times 3} . La entrada a 23 {\displaystyle a_{23}\,\!}

es 7.

La matriz R ∈ M 1 × 9 ( K ) {\displaystyle R\in {\mathcal {M}}_{1\times 9}(\mathbb {K} )}

R = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}

es una matriz de tamaño 1 × 9 {\displaystyle 1\times 9}

un vector fila con 9 entradas.

Operaciones básicas entre matrices

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición

Sean A , B ∈ M n × m ( K ) {\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&1\\3&2&1\\2&3&2\\2&0&4\end{bmatrix}}\quad +\quad {\begin{bmatrix}0&1&4\\1&4&0\\2&1&1\\0&2&2\end{bmatrix}}\quad =\quad {\begin{bmatrix}2&3&5\\4&6&1\\4&4&3\\2&2&6\end{bmatrix}}}

. Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria + : M m × n ( K ) × M m × n ( K ) ⟶ M m × n ( K ) {\displaystyle +:{\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )\times {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )\longrightarrow {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}

tal que

( A , B ) ↦ C = A + B {\displaystyle (A,B)\mapsto C=A+B}

y donde

c i j = a i j + b i j {\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!}

en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el cuerpo

K {\displaystyle \mathbb {K} } . Por ejemplo, la entrada c 12 {\displaystyle c_{12}\,\!}

es igual a la suma de los elementos

a 12 {\displaystyle a_{12}\,\!}

b 12 {\displaystyle b_{12}\,\!}

lo cual es

a 12 + b 12 {\displaystyle a_{12}+b_{12}\,\!} .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea A , B ∈ M 3 ( R ) {\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {R} )}

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 1 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 1 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 2 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+1&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices, en el caso de que las entradas estén en un cuerpo, poseen las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que estas son propiedades de los cuerpos en los que están las entradas de la matriz.