Polinomios de Bernoulli

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Polinomios de Bernoulli

En matemáticas, los polinomios de Bernoulli B_n(x) se definen mediante la función generatriz:

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli B_n son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., B_n=B_n(0).

La identidad B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k \, nos permite dar una forma cerrada de la suma

\sum_{i=1}^n {i^k} = 1^k+2^k+ \cdots + n^k= \frac{B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}

Expresión explícita de polinomios de menor grado[editar]

B_0(x)=1\,
B_1(x)=x-1/2\,
B_2(x)=x^2-x+1/6\,
B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,
B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\, .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.

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