Polinomios de Bernoulli

En matemáticas, los polinomios de Bernoulli $B_n(x)$ se definen mediante la función generatriz:

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}$

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli $B_n$ son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., $B_n=B_n(0)$.

La identidad $B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k \,$ nos permite dar una forma cerrada de la suma

$\sum_{i=1}^n {i^k} = 1^k+2^k+ \cdots + n^k= \frac{B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}$

Expresión explícita de polinomios de menor grado

$B_0(x)=1\,$

$B_1(x)=x-1/2\,$

$B_2(x)=x^2-x+1/6\,$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\,$ .

Véase también

• Número de Bernoulli.

Referencias

• Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Bernoulli Polynomial» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.