Polinomio todo en uno

Un polinomio todo en uno (AOP, all-in-one polynomial) es un polinomio usado en campos finitos, especificalmente GF(2) (binario). El AOP es un 1-polinomio igualmente espaciado.

Un AOP de grado m tiene todos los términos del $x^{m}$ al $x^{0}$ con coeficientes 1, y puede escribirse:

AOP(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}

o

AOP(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1

o

AOP_{m}(x)={\frac {x^{m+1}-1}{x-1}}

Así, las raíces de polinomios todo en uno son todas raíces de la unidad.

Propiedades

Sobre GF(2), el AOP posee varias propiedades interesantes, incluyendo:

La distancia de Hamming del AOP es m + 1
El AOP es irreducible si y sólo si m + 1 es primo y 2 es una raíz primitiva módulo m + 1
El único AOP que es un polinomio primitivo es x² + x + 1.

A pesar de que la distancia de Hamming sea grande, debido a la fácil representación y otras mejoras, existen implementaciones eficientes en áreas tales como teoría de códigos y en criptografía.

Sobre $\mathbb {Q}$ , el AOP es irreducible cuando m + 1 es primo p, y por ende en esos casos, el p-ésimo polinomio ciclotómico.