Número feliz

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Los números felices se definen por el siguiente procedimiento: empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle que no incluye el 1.[1] Los números que al finalizar el proceso terminan con 1, son conocidos como números felices. Aquellos que no, son conocidos como números infelices (o tristes).[2] Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz.

Definición[editar]

Más formalmente, dado un número n=n_0, se define una secuencia n_1, n_2,... donde n_{i+1} es la suma de los cuadrados de los dígitos de n_i. Entonces n es feliz si y sólo si existe i de tal modo que n_i = 1.

7 es un número feliz, ya que:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.

Si n no es feliz la suma de los cuadrados entrará en un bucle (de periodo 8):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,...

Fórmula[editar]

Existe una fórmula recursiva que permite comprobar si un número es feliz después de una serie de iteraciones.[3]

Sea b_1 el número a comprobar. Si  b_f = 1 después de algunas iteraciones se considera entonces que  b_1 es feliz.


 b_f= \sum_{n = 0}^{\lfloor(\frac{\log (b(-1 + f))}{\log (10)})\rfloor}
   {( -10\,\lfloor({10}^{-1 - n}\,b(-1 + f))\rfloor + \lfloor \frac{b(-1 + f)}{{10}^n} \rfloor )}^2
.

Infinitud de números felices[editar]

Es fácil comprobar que hay infinitos números felices, ya que los cuadrados de los dígitos de cualquier número de la forma  10^k (con  k  un número natural) siempre suman 1.

De la misma manera, hay infinitos números infelices, pues los cuadrados de los dígitos de los números de la forma  2*10^n (con  n natural) suman 4, que es un número infeliz.

Listas de números felices[editar]

Existen dos números felices de una cifra: 1 y 7. (7 es además un primo feliz)

Existen 17 números felices de dos cifras: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97. (13, 19, 23, 31, 79 y 97 son primos felices).

Existen 123 números felices de tres cifras: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193...

Los números felices son cada vez más infrecuentes, a medida que aumenta el número de cifras. Un 22.22% de una cifra, un 18.89% de dos cifras, un 13.67% de tres cifras, etc.

Primos felices[editar]

Aunque existen infinitos primos, e infinitos números felices, no se sabe si existen infinitos primos felices.[4]

Los primeros primos felices son 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239... (Secuencia A035497 de la OEIS)

Los segundo y tercero primos repitunos (1111111111111111111 y 11111111111111111111111) son además primos felices.

Números felices perfectos[editar]

De los 48 números perfectos que se conocen, solo tres son además felices: 28, 496 y 8128.

Igual que con los números primos felices, no se sabe si existen infinitos perfectos felices.

Felicidad en otras bases[editar]

En binario (base 2), todos los números son perfectos. La operación de sumar cuadrados se simplifica, ya que solo hace falta contar cuántos 1 tiene el desarrollo binario del número, un valor conocido como peso Hamming. El peso Hamming de un número siempre es menor que el propio número (si exceptuamos el 1 y el 0). Por lo tanto, eventualmente, se alcanza siempre el 1 como peso Hamming.

Referencias[editar]

  1. http://www.solveet.com/exercises/El-numero-feliz/73 (Consultado el 12 de marrzo de 2014)
  2. http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/ (Consultado el 12 de marzo de 2014)
  3. «OEIS». Consultado el 22 de noviembre de 2014.
  4. «E34». Unsolved Problems Number Theory. 

Enlaces externos[editar]