Número feliz

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Los números felices se definen por el siguiente procedimiento. Empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle infinito que no incluye el 1.[1] Los números que al finalizar el proceso terminan con 1, son conocidos como números felices, pero aquellos que no terminan con un 1 son conocidos como números infelices.[2]

Definición[editar]

Más formalmente, dado un número n=n_0, se define una secuencia n_1, n_2,... donde n_{i+1} es la suma de los cuadrados de los dígitos de n_i. Entonces n es feliz si y sólo si existe i de tal modo que n_i = 1.

A continuación se muestran algunos ejemplos. 7 es un número feliz:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.

Si n no es feliz la suma de los cuadrados nunca dará 1, sino que entrará en un bucle infinito:

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,...

Fórmula[editar]

Existe una fórmula recursiva muy interesante que permite comprobar si un número es feliz después de una serie de iteraciones, esta fórmula fue desarrollada por un Joven Matemático originario de Fresnillo Zacatecas México de nombre José de Jesús Camacho Medina, quien registró su fórmula en la enciclopedia en línea de secuencias enteras bajo el registro http://oeis.org/A007770.

 b_f llega a producir un '1' después de algunas iteraciones se considera entonces que Numero es feliz. La fórmula incluye en su estructura logaritmos, funciones piso y una sumatoria.

b_1 = Numero

 b_f= \sum_{n = 0}^{\lfloor(\frac{\log (b(-1 + f))}{\log (10)})\rfloor}
   {( -10\,\lfloor({10}^{-1 - n}\,b(-1 + f))\rfloor + \lfloor \frac{b(-1 + f)}{{10}^n} \rfloor )}^2

Referencias[editar]

  1. http://www.solveet.com/exercises/El-numero-feliz/73 (Consultado el 12 de marrzo de 2014)
  2. http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/ (Consultado el 12 de marzo de 2014)