Número feliz

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Los números felices se definen por el siguiente procedimiento. Empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle infinito que no incluye el 1[1] . Los números que al finalizar el proceso terminan con 1, son conocidos como números felices, pero aquellos que no terminan con un 1 son conocidos como números infelices[2] .

Definición[editar]

Más formalmente, dado un número n=n_0, se define una secuencia n_1, n_2, ... donde n_{i+1} es la suma de los cuadrados de los dígitos de n_i. Entonces n es feliz si y sólo si existe i de tal modo que n_i = 1.

A continuación se muestran algunos ejemplos. 7 es un número feliz:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.

Si n no es feliz la suma de los cuadrados nunca dará 1, sino que entrará en un bucle infinito:

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Fórmula[editar]

Existe una fórmula recursiva muy interesante que permite comprobar si un número es feliz después de una serie de iteraciones , esta fórmula fué desarrollada por un Joven Matemático originario de Fresnillo Zacatecas México de nombre José de Jesús Camacho Medina , quien registró su fórmula en la enciclopedia en línea de secuencias enteras bajo el registro http://oeis.org/A007770.

 b_f llega a producir un '1' después de algunas iteraciones se considera entonces que Numero es feliz . La fórmula incluye en su estructura logaritmos , funciones piso y una sumatoria.


b_1 = Numero

 b_f= \sum_{n = 0}^{\lfloor(\frac{\log (b(-1 + f))}{\log (10)})\rfloor}
   {( -10\,\lfloor({10}^{-1 - n}\,b(-1 + f))\rfloor + \lfloor \frac{b(-1 + f)}{{10}^n} \rfloor )}^2

Referencias[editar]

  1. http://www.solveet.com/exercises/El-numero-feliz/73 (Consultado el 12 de marrzo de 2014)
  2. http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/ (Consultado el 12 de marzo de 2014)