Número de Sierpiński

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En matemática, un Número de Sierpinski es un número natural impar k tal que enteros de la forma k2n + 1 son compuestos (no son números primos) para todos los números naturales n.

En otras palabras, cuando k es un número de Sierpinski, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:

\left\{\,k 2^n + 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}

Los números en este conjunto con k impar y k < 2n son llamados Números de Proth.

En 1960 Wacław Sierpiński demostró que existen infinitos enteros impares que al ser usados como k producen números no primos.

Problema de Sierpiński[editar]

El Problema de Sierpinski es: "¿Cuál es el menor número de Sierpinski?"

En 1962, John Selfridge propuso lo que se conoce como la Conjetura de Selfridge: que la respuesta al problema de Sierpinski era el número 78,557. Selfridge encontró que cuando 78,557 era usado como k, todos los sets resultantes pueden ser factorizados por miembros del conjunto {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. En otras palabras, Selfridge demostró que 78,557 era un número de Sierpinski.

Para mostrar que 78,557 es realmente el número de Sierpinski más pequeño, debe demostrarse que todos los números impares menores que 78,557 no son números de Sierpinski. A marzo de 2009 solo faltan por demostrar seis de estos números, y Seventeen or Bust, un proyecto de computación distribuida, está realizando esta tarea. Si el proyecto encuentra números primos para cada uno de estos seis números, se habrá completado la demostración a la conjetura de Selfridge.

PrimeGrid es un proyecto de computación distribuida que tiene un subproyecto para la busqueda de números primos de Sierpinski. Está basados en la infraestructura abierta de Berkeley para la computación en red(Boinc).

Estado actual[editar]

La siguiente tabla muestra el estado actual a marzo de 2009.

# k n Dígitos de k·2n+1 Fecha de descubrimiento Encontrado por
4,847 3,321,063 999,744 15 de octubre de 2005 Richard Hassler
5,359 5,054,502 1,521,561 6 de diciembre de 2003 Randy Sundquist
10,223
19,249 13,018,586 3,918,990 26 de marzo de 2007 Konstantin Agafonov
21,181
22,699
24,737
27,653 9,167,433 2,759,677 8 de junio de 2005 Derek Gordon
28,433 7,830,457 2,357,207 30 de diciembre de 2004 Anónimo
10° 33,661 7,031,232 2,116,617 13 de octubre de 2007 Sturle Sunde
11° 44,131 995,972 299,823 6 de diciembre de 2002 deviced (alias)
12° 46,157 698,207 210,186 26 de noviembre de 2002 Stephen Gibson
13° 54,767 1,337,287 402,569 22 de diciembre de 2002 Peter Coels
14° 55,459
15° 65,567 1,013,803 305,190 3 de diciembre de 2002 James Burt
16° 67,607
17° 69,109 1,157,446 348,431 7 de diciembre de 2002 Sean DiMichele

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