Función cuasiperiódica

En matemáticas, una función se dice cuasiperiódica cuándo tiene alguna semejanza a una función periódica pero no coincide con la definición estricta. Para ser más preciso, esto significa una función $f$ es cuasiperiódica con cuasiperiodo $\omega$ si $f(z+\omega )=g(z,f(z))$ , dónde g es una función más simple que f. Nótese qué "simple" es impreciso y permite diferentes definiciones.

Un caso sencillo (a veces llamada aritmética-cuasiperiódica) es si la función obedece la ecuación:

f(z+\omega )=f(z)+C

Otro caso (a veces llamado geométrico-cuasiperiódico) es si la función obedece la ecuación:

f(z+\omega )=Cf(z)

Un ejemplo útil es la función :

f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)

Si la proporción A/B es racional, esto tendrá un periodo, pero si A/B es irracional no hay dicho periodo, aunque sí una sucesión de números $\omega _{i}$ llamados "casi" (almost) periodos, tales que para cualquier $\epsilon$ , existe un i tal que.

|f(z+\omega _{i})-f(z)|<\epsilon

Otro ejemplo de función con casi periodos es la función theta de Jacobi, dónde

\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),

muestra que para τ fijo, el cuasiperiodo es τ; también es periódico con periodo uno. Otro ejemplo está proporcionado por la función sigma de Weierstrass, la cual es cuasiperiódico, con dos cuasiperiodos independientes, los periodos correspondientes a las funciones sigma de Weierstrass.

Funciones con una ecuación funcional aditiva