Función elíptica de Jacobi

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Funciones elípticas de Jacobi snk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi cnk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi dnk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,25; línea verde: k = 1,05).

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

Definición[editar]

Consideremos la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:

 u = F_k(x) = \int_{0}^{x} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-k^2 v^2)} }


La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:

 \mbox{sn}\ u = x = F_k^{-1}(u)


Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:

\begin{cases} \mbox{cn}\ u = \sqrt{1- \mbox{sn}^2 u}= \sqrt{1-x^2} \\
\mbox{dn}\ u = \sqrt{1-k^2 \mbox{sn}^2 u} = \sqrt{1-kx^2} \end{cases}

Propiedades[editar]

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:

\begin{cases} \mbox{cn}^2 u + \mbox{sn}^2 u = 1\\
\mbox{dn}^2 u + k^2\mbox{sn}^2 u = 1 \\
\mbox{dn}^2 u - k^2\mbox{cn}^2 u = 1-k^2 \end{cases}

En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:

\mbox{cn}(0) = 1 \qquad \mbox{sn}(0) = 0 \qquad \mbox{dn}(0) = 1\;

Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:

\lim_{k\to 0}\ \mbox{sn}\ u = \sin u \qquad \lim_{k\to 0}\ \mbox{cn}\ u = \cos u \qquad \lim_{k\to 0}\ \mbox{dn}\ u = 1

Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:

\mbox{sn}\ u = u -(1+k^2)\frac{u^3}{3!}+ (1+14k^2+k^4)\frac{u^5}{5!} - (1+135k^2+135k^4+k^6)\frac{u^7}{7!}+ \dots
\mbox{cn}\ u = 1 -\frac{u^2}{2!}+ (1+k^2)\frac{u^4}{4!} -
(1+44k^2+16k^4)\frac{u^6}{6!}+ \dots
\mbox{dn}\ u = 1 -k^2\frac{u^2}{2!}+ k^2(4+k^2)\frac{u^4}{4!} - k^2(16+44k^2+k^4)\frac{u^7}{7!}+ \dots

Doble periodicidad[editar]

Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo:

\mbox{sn}\ u = \mbox{sn}(u+4K) = \mbox{sn}(u+2iK')
\mbox{cn}\ u = \mbox{cn}(u+4K) = \mbox{cn}(u+2K+2iK')
\mbox{dn}\ u = \mbox{dn}(u+2K) = \mbox{dn}(u+4iK')

Donde los valores que defien los perídos viene dados por:

K = \frac{\pi}{2}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^4 = \frac{\pi}{2}(1+2q+2q^4+\dots)^2
K' = -\frac{\ln q}{2}\prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^4 = \frac{\pi}{2}(1+2q+2q^4+\dots)^2

donde q es el nomo de las funciones \theta_i(x,q) que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación:

k = 4q^{1/2}\prod_{n=1}^\infty \left( \frac{1+q^{2n}}{1+q^{2n-1}} \right)^4

Relaciones entre las funciones elípticas[editar]

Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son:

\mbox{sn}\ u = \sqrt{\frac{1-\mbox{cn}\ 2u}{1+\mbox{dn}\ 2u}}, \quad
\mbox{cn}\ u = \sqrt{\frac{\mbox{cn}\ 2u + \mbox{dn}\ 2u}{1+\mbox{dn}\ 2u}}, \quad
\mbox{dn}\ u = \sqrt{\frac{\mbox{cn}\ 2u +\mbox{dn}\ 2u}{1+\mbox{cn}\ 2u}}

Algunas relaciones que involucran a las funciones elípticas secundarias son:

\mbox{ns}\ u - \mbox{cs}\ u = \mbox{sn}\ \frac{u}{2} \mbox{dc}\ \frac{u}{2}
\mbox{ns}\ u + \mbox{ds}\ u = \mbox{ds}\ \frac{u}{2} \mbox{nc}\ \frac{u}{2}
\mbox{ds}\ u + \mbox{cs}\ u = \mbox{cn}\ \frac{u}{2} \mbox{ds}\ \frac{u}{2}

Fórmulas de adición[editar]

Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para la funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:

\mbox{sn}(u+v) = \frac{\mbox{sn}\ u\ \mbox{cn}\ v\ \mbox{dn}\ v\ + \mbox{cn}\ u\ \mbox{sn}\ v\ \mbox{dn}\ u }{1 - k^2 \mbox{sn}^2 u\ \mbox{sn}^2 v}
\mbox{cn}(u+v) = \frac{\mbox{cn}\ u\ \mbox{cn}\ v\ - \mbox{sn}\ u\ \mbox{sn}\ v\ \mbox{dn}\ u\ \mbox{dn}\ v }{1 - k^2 \mbox{sn}^2 u\ \mbox{sn}^2 v}
\mbox{dn}(u+v) = \frac{\mbox{dn}\ u\ \mbox{dn}\ v\ - k^2 \mbox{sn}\ u\ \mbox{sn}\ v\ \mbox{cn}\ u\ \mbox{cn}\ v }{1 - k^2 \mbox{sn}^2 u\ \mbox{sn}^2 v}

Funciones elípticas de Jacobi secundarias[editar]

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:

\mbox{ns}\ u = \frac{1}{\mbox{sn}\ u} \qquad \mbox{nc}\ u = \frac{1}{\mbox{cn}\ u} \qquad
\mbox{nd}\ u = \frac{1}{\mbox{dn}\ u}


En segundo lugar los cocientes:

\mbox{sc}\ u = \frac{\mbox{sn}\ u}{\mbox{cn}\ u} \qquad
\mbox{sd}\ u = \frac{\mbox{sn}\ u}{\mbox{dn}\ u} \qquad
\mbox{cd}\ u = \frac{\mbox{cn}\ u}{\mbox{dn}\ u}


Junto con sus respectivas funciones recíprocas:

\mbox{cs}\ u = \frac{\mbox{cn}\ u}{\mbox{sn}\ u} \qquad
\mbox{ds}\ u = \frac{\mbox{dn}\ u}{\mbox{sn}\ u} \qquad
\mbox{dc}\ u = \frac{\mbox{dn}\ u}{\mbox{cn}\ u}


Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988, pp. 185-89 ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos[editar]