Función elíptica de Jacobi

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

Definición

Consideremos la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:

$u = F_k(x) = \int_{0}^{x} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-k^2 v^2)} }$

La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:

$\mbox{sn}\ u = x = F_k^{-1}(u)$

Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:

$\mbox{cn}\ u = \sqrt{1- \mbox{sn}^2 u}= \sqrt{1-x^2} \qquad \mbox{dn}\ u = \sqrt{1-k^2 \mbox{sn}^2 u} = \sqrt{1-k^2x^2}$

Propiedades

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:

$\mbox{cn}^2 u + \mbox{sn}^2 u = 1\; \qquad \mbox{dn}^2 u + k^2\mbox{sn}^2 u = 1 \qquad \mbox{dn}^2 u - k^2\mbox{cn}^2 u = 1-k^2$

En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:

$\mbox{cn}(0) = 1 \qquad \mbox{sn}(0) = 0 \qquad \mbox{dn}(0) = 1\;$

Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:

$\lim_{k\to 0}\ \mbox{sn}\ u = \sin u \qquad \lim_{k\to 0}\ \mbox{cn}\ u = \cos u \qquad \lim_{k\to 0}\ \mbox{dn}\ u = 1$

Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:

$\mbox{sn}\ u = u -(1+k^2)\frac{u^3}{3!}+ (1+14k^2+k^4)\frac{u^5}{5!} - (1+135k^2+135k^4+k^6)\frac{u^7}{7!}+ \dots$

$\mbox{cn}\ u = 1 -\frac{u^2}{2!}+ (1+k^2)\frac{u^4}{4!} - (1+44k^2+16k^4)\frac{u^6}{6!}+ \dots$

$\mbox{dn}\ u = 1 -k^2\frac{u^2}{2!}+ k^2(4+k^2)\frac{u^4}{4!} - k^2(16+44k^2+k^4)\frac{u^7}{7!}+ \dots$

Fórmulas de adición

Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para la funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:

$\mbox{sn}(u+v) = \frac{\mbox{sn}\ u\ \mbox{cn}\ v\ \mbox{dn}\ v\ + \mbox{cn}\ u\ \mbox{sn}\ v\ \mbox{dn}\ u }{1 - k^2 \mbox{sn}^2 u\ \mbox{sn}^2 v}$

$\mbox{cn}(u+v) = \frac{\mbox{cn}\ u\ \mbox{cn}\ v\ - \mbox{sn}\ u\ \mbox{sn}\ v\ \mbox{dn}\ u\ \mbox{dn}\ v }{1 - k^2 \mbox{sn}^2 u\ \mbox{sn}^2 v}$

$\mbox{dn}(u+v) = \frac{\mbox{dn}\ u\ \mbox{dn}\ v\ - k^2 \mbox{sn}\ u\ \mbox{sn}\ v\ \mbox{cn}\ u\ \mbox{cn}\ v }{1 - k^2 \mbox{sn}^2 u\ \mbox{sn}^2 v}$

Funciones elípticas de Jacobi secundarias

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:

$\mbox{ns}\ u = \frac{1}{\mbox{sn}\ u} \qquad \mbox{nc}\ u = \frac{1}{\mbox{cn}\ u} \qquad \mbox{nd}\ u = \frac{1}{\mbox{dn}\ u}$

En segundo lugar los cocientes:

$\mbox{sc}\ u = \frac{\mbox{sn}\ u}{\mbox{cn}\ u} \qquad \mbox{sd}\ u = \frac{\mbox{sn}\ u}{\mbox{dn}\ u} \qquad \mbox{cd}\ u = \frac{\mbox{cn}\ u}{\mbox{dn}\ u}$

Junto con sus respectivas funcione recíprocas:

$\mbox{cs}\ u = \frac{\mbox{cn}\ u}{\mbox{sn}\ u} \qquad \mbox{ds}\ u = \frac{\mbox{dn}\ u}{\mbox{sn}\ u} \qquad \mbox{dc}\ u = \frac{\mbox{dn}\ u}{\mbox{cn}\ u}$

Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Función elíptica de Jacobi» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• http://www.math.ohio-state.edu/~econrad/Jacobi/Jacobi.html (en inglés)
• Definition in Abramowitz & Stegun (en inglés)