Esquema axiomático de reemplazo

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En teoría de conjuntos, el esquema axiomático de reemplazo o axioma de reemplazo es un esquema axiomático —una cierta colección de axiomas— que postula que la imagen de un conjunto por una función definida a través de una fórmula es también un conjunto.

Enunciado[editar]

El axioma de reemplazo afirma que existe el conjunto imagen de una «función» definida sobre otro conjunto dado. La función en cuestión está representada por una cierta fórmula arbitraria φ, debido a la incapacidad del lenguaje formal de cuantificar sobre las «relaciones» entre conjuntos:

Esquema axiomático de reemplazo

Sea una fórmula con al menos dos variables libres, φ(x, y). La siguiente fórmula es un axioma:

(\forall x,y,z\,,\, \varphi(x,y)\wedge\varphi(x,z)\rightarrow y=z)\Rightarrow \forall A\exist B\,,\,\forall b\, (b\in B\leftrightarrow \exist a\in A: \varphi(a,b))

Escrito en palabras: «si φ representa una función, entonces para cada conjunto A existe su conjunto imagen B». Los predicados «representa una función» y «su conjunto imagen» significan, más concretamente, «para cada x, es cierta para un único par ordenado x, y» y «el conjunto de los elementos b que cumplen φ(a, b) para algún a en A». La fórmula φ puede tener parámetros, es decir, puede tener más variables libres que hagan referencia a otros conjuntos no especificados, como por ejemplo:

φ(x, y) ≡ y = x a

Independencia[editar]

El axioma de reemplazo (AR) no puede demostrarse a partir del resto de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), ya que puede construirse un modelo en el que el resto de axiomas sean ciertos, junto con la negación de AR.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Cohen, Paul J. (1966). «II.1. Axioms». Set theory and the continuum hypothesis (en inglés). W.A. Benjamin. OCLC 291078. 
  • Devlin, Keith (1993). «2.3. The Zermelo-Fraenkel axioms.». The joy of sets (2ª edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94094-4. 
  • Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: an introduction to independence proofs (en inglés). Elsevier Science. p. 147. ISBN 0-444-86839-9.  Discute la independencia del axioma de reemplazo.
  • Roitman, Judith (1990). «2.9. Replacement». Introduction to modern set theory (en inglés). Wiley. ISBN 0-471-63519-7.