Límite de Roche

Considérese un cuerpo fluído que mantiene su estructura por su gravedad interna y que orbita alrededor de un objeto mayor. En esta figura observamos desde la parte superior del plano orbital. Lejos del límite de Roche el fluído tiene una forma esférica.

Más cerca del límite de Roche el fluído es deformado por la acción de fuerzas de marea.

Dentro del límite de Roche la gravedad del fluído no es suficiente para mantener su forma y el cuerpo es roto por la acción de la fuerza de marea.

Las flechas rojas representan la velocidad orbital de los restos disgregados del satélite. Las partículas internas orbitan más deprisa que las exteriores.

La velocidad diferencial de rotación ocasiona finalmente la formación de un anillo a partir del cuerpo inicial.

El límite de Roche es la distancia a la que un objeto que orbita un cuerpo masivo manteniendo su estructura únicamente por su propia gravedad comienza a desintegrarse debido a las fuerzas de marea del objeto principal. Dentro del límite de Roche la fuerza de gravedad que el cuerpo central ejerce sobre los extremos más cercano y alejado del satélite exceden a la fuerza de gravedad del satélite. Éste podrá ser destruído por lo tanto por las fuerzas de marea. El nombre de límite de Roche proviene del astrónomo francés Édouard Roche quien primero propuso este efecto y calculó este límite teórico en 1848.

El límite de Roche depende por lo tanto de la gravedad del cuerpo central pero también de las características de densidad del satélite.

No se debe confundir con el lóbulo de Roche, un concepto teórico propuesto también por Édouard Roche y que describe el límite en el que un objeto de poca masa en un sistema dominado por dos cuerpos mayores es capturado por uno de ellos.

Algunos satélites tanto naturales como artificiales orbitan a distancias inferiores a la del límite de Roche ya que mantienen su estructura por fuerzas distintas a la gravedad (la resistencia del material). Entre las lunas de Júpiter tanto Adrastea como Metis son ejemplos de cuerpos naturales que mantienen su cohesión más allá de sus límites de Roche. Sin embargo cualquier objeto en su superficie puede ser desgranado por las fuerzas de marea. Un cuerpo con menor cohesión, como un cometa será destruído al atravesar su límite de Roche. El cometa Shoemaker-Levy 9 atravesó el límite de Roche de Júpiter en julio de 1992 rompiéndose en numerosos fragmentos. En 1994 los restos del cometa impactaron sobre la superficie del planeta.

Dado que las fuerzas de marea son superiores a la fuerza de gravedad dentro del límite de Roche ningún cuerpo puede crecer por coalescencia de partículas más pequeñas dentro de este límite. De hecho todos los anillos planetarios se encuentran dentro de sus límites de Roche. Estos anillos podrían ser los restos del disco de acrecimiento que no llegaron a coalescer para formar un satélite o podrían ser los restos de un objeto que atravesó el límite de Roche y fue destruído por las fuerzas de marea.

Nótese que el límite de Roche se define únicamente en función de las fuerzas de gravedad, fuerza de marea y autogravedad. En la práctica la cuestión de la estabilidad estructural de una luna dependerá también de su velocidad de rotación y la fuerza centrífuga proveniente de su rotación.

Determinación del límite de Roche

Cuerpos rígidos

El límite de Roche depende de la rigidez del satélite orbitando el planeta. Por un lado, éste podría ser una esfera perfecta en cuyo caso el límite de Roche es

$d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Donde $R$ es el radio del cuerpo principal, $\rho _{M}$ es su densidad y $\rho _{m}$ es la densidad del satélite.

Si la luna posee una densidad superior al doble de la del planeta, tal y como puede ocurrir en un satélite rocoso orbitando un gigante gaseoso, entonces el límite de Roche estaría dentro del propio planeta y sería una magnitud no relevante.

Cuerpos deformables

El otro caso límite es un satélite capaz de deformarse sin oponer ninguna resistencia, tal y como haría un líquido. Aunque el cálculo exacto no puede realizarse analíticamente, una aproximación bastante buena puede darse por medio de la siguiente fórmula:

$d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Derivación de la fórmula: Cuerpos rígidos

Derivación de la fórmula del límite de Roche a partir de una partícula test.

Para determinar el límite de Roche consideraremos una partícula de masa $u$ sobre la superficie de un cuerpo pequeño (satélite) en las cercanías de un cuerpo de mayor masa (planeta). Nuestra partícula $u$ experimentará dos fuerzas: La gravedad proveniente del satélite que le hace permanecer sobre su superficie y la gravedad del planeta principal. Dado que el satélite está en movimiento orbital

la resultante de la gravedad ejercida por el planeta es únicamente la fuerza de marea.

El empuje de la gravedad $F_{G}$ sobre la partícula de masa $u$ sobre el satélite de masa $m$ y radio $r$ puede expresarse de acuerdo a la Ley de la gravitación de Newton.

$F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}$

La fuerza de marea $F_{T}$ sobre la masa $u$ ejercidad por el planeta central de radio $R$ y a una distancia $d$ entre los centros de masa de ambos cuerpos:

$F_{T}={\frac {2GMur}{d^{3}}}$

El límite de Roche se alcanza cuando el empuje gravitacional y la fuerza de marea se cancelan el uno al otro.

$F_{G}=F_{T}$,

o bien,

${\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}$.

Expresión que nos permite calcular el límite de Roche, $d$:

$d=r\left(2M/m\right)^{\frac {1}{3}}$

Sin embargo es conveniente expresar esta ecuación en una forma alternativa que no dependa del radio del satélite por lo que reescribiremos esta expresión en función de las densidades del planeta y el satélite.

La masa $M$ de una esfera es de radio $R$ es:

$M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}$

Y análogamente para el segundo cuerpo:

$m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}$.

Sustituyendo ambas masas en la ecuación del límite de Roche obtenemos:

$d=r\left(2\rho _{M}R^{3}/\rho _{m}r^{3}\right)^{\frac {1}{3}}$

que puede simplificarse en la expresión habitual del límite de Roche.

$d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Derivación de la fórmula: Cuerpos deformables no esféricos

Una expresión algo más precisa para el límite de Roche debería tener en cuenta las deformaciones producidas en el satélite por las fuerzas de marea. En estos casos el satélite sería deformado en un esferoide elíptico.

El cálculo exacto no puede realizarse análiticamente. Históricamente Roche derivó una aproximación numérica para este problema.

$d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Con la ayuda de ordenadores es sencillo encontrar una aproximación mejor

$d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-{\frac {c}{R}}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

donde $c/R$ es un factor que expresa el grado de deformación del cuerpo principal.

El límite de Roche en ejemplos del Sistema Solar

La tabla inferior muestra la densidad promedio y el radio ecuatorial de diferentes objetos del Sistema Solar.

Cuerpo	Densidad (kg/m³)	Radio (m)
Sol	1.400	695.000.000
Júpiter	1.330	71.500.000
Tierra	5.515	6.376.500
Luna	3.340	1.737.400

Con estos datos el límite de Roche para cuerpos rígidos y cuerpos deformables puede ser fácilmente calculado. La densidad promedio de los cometas puede considerarse alrededor de 500 kg/m³. El verdadero límite de Roche depende de la flexibilidad del satélite por lo que estará en algún punto intermedio entre los límites calculados para el cuerpo rígido y el cuerpo perfectamente deformable que hemos calculado anteriormente. Si el cuerpo central mayor posee una densidad inferior a la mitad del cuerpo orbitante el límite de Roche se alcanza por debajo del radio del planeta por lo que el satélite no puede alcanzar tal límite. Este es el caso por ejemplo del límite de Roche para el sistema Sol-Tierra. La siguiente tabla da los límites de Roche expresados en metros y en radios del cuerpo central.

Cuerpo	Satellite	Límite de Roche (rígido)		Límite de Roche (no rígido)
		Distancia (m)	Radio	Distancia (m)	Radio
Tierra	Luna	9.495.665	1,49	18.261.459	2,86
Tierra	Cometa	17.883.432	2,80	34.392.279	5,39
Sol	Tierra	554.441.389	0,80	1.066.266.402	1,53
Sol	Cometa	1.234.186.562	1,78	2.373.509.071	3,42

Es interesante considerar lo cerca o lejos que se encuentran las diferentes lunas del Sistema Solar de sus límites de Roche. La siguiente tabla da el radio orbital de cada satélite dividido por sus límites de Roche en los dos casos de cuerpo rígido y flexible. En los casos de los planetas gigantes sólo se han considerado los satélites interiores más pequeños. Los satélites principales como Ío en Júpiter o Titán en Saturno se encuentran a distancias muy superiores a sus límites de Roche.

Cuerpo central	Satélite	Radio Orbital: Límite de Roche
		(Rígido)	(No Rígido)
Sol	Mercurio	104:1	54:1
Tierra	Luna	41:1	21:1
Marte	Fobos	171%	89%
	Deimos	456%	237%
Júpiter	Metis	191%	99%
	Adrastea	192%	100%
	Amalthea	178%	93%
	Thebe	331%	172%
Saturno	Pan	177%	92%
	Atlas	182%	95%
	Prometeo	185%	96%
	Pandora	188%	98%
	Epimetheus	198%	103%
Urano	Cordelia	155%	81%
	Ophelia	168%	87%
	Bianca	184%	96%
	Cressida	193%	100%
Neptuno	Naiade	144%	75%
	Thalassa	149%	78%
	Despina	157%	82%
	Galatea	184%	96%
	Larissa	219%	114%
Plutón	Caronte	13:1	6,8:1

Es interesante constatar como los satélites menores de los planetas gigantes se encuentran cerca de sus límites de Roche, siendo su estructura mantenida por fuerzas internas de cohesión y no únicamente por su gravedad. En la región dominada por anillos como los anillos de Saturno es imposible la agrupación de las partículas en cuerpos mayores porque serían disgregados por los efectos de la fuerza de marea. Estos satélites tuvieron probablemente su origen en regiones más alejadas de los planetas gigantes y sus órbitas fueron modificadas posteriormente quizás por la interacción gravitatoria de los demás satélites. Alternativamente, quizás fueron formados en regiones cercanas a sus posiciones actuales cuando los planetas centrales todavía estaban en plena formación y tenían una masa inferior. Este segundo escenario resulta sin embargo menos probable.

Referencias

• Édouard Roche: La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné, Acad. des sciences de Montpellier, Vol. 1 (1847-50) p. 243

Véase también

• Esfera de Hill
• Lóbulo de Roche

Enlaces externos

• (en inglés) Derivación detallada del límite de Roche