Diferencia entre revisiones de «Fórmula de Herón»
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En [[geometría]], '''la fórmula de Herón''', descubierta por [[Herón de Alejandría]], da la [[superficie (matemática)|superficie]] <math>S</math> de un [[triángulo]] en términos de las longitudes de sus lados ''a'', ''b'' y ''c'': |
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:<math>S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)},</math> |
:<math>S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)},</math> |
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Revisión del 04:16 22 jun 2010
En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, da la superficie de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:
donde p es el semiperímetro:
La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:
Demostración
Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces, por el teorema del coseno:
- .
De la identidad pitagórica
se obtiene:
- .
La altura de un triángulo de base a tiene una longitud b |sen(C)|. Por tanto,
- , como se quería demostrar.
Generalizaciones
La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo de la superficies de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular la superficie de un cuadrilátero.
Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:
Ninguno de los resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes (a+b-c)=(10+20-30)=0 nunca se puede dar esa situación.
Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.
Enlaces externos
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