Ley de gravitación universal

La ley de gravitación universal es una ley clásica de la gravitación presentada por Isaac Newton en su libro publicado en 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que establece una relación cuantiativa para la fuerza de atracción entre dos objetos con masa.

Introducción

Todo objeto en el universo que posea masa ejerce una atracción gravitatoria sobre cualquier otro objeto con masa, independientemente de la distancia que los separe. Según explica esta ley, mientras más masa posean los objetos, mayor será la fuerza de atracción, y paralelamente, mientras más cerca se encuentren entre sí, será mayor esa fuerza, según una ley de la inversa del cuadrado.

Considerando dos masas cuyo tamaño sea pequeño comparada con la distancia que los separa, podemos resumir lo anterior en una ecuación o ley establece que la fuerza que ejerce un objeto dado con masa $m_{1}$ sobre otro con masa $m_{2}$ es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, es decir:

(1)$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}$

Donde

m₁ y m₂ son las masas de los dos cuerpos

d es la distancia que separa sus centros de gravedad y G es constante de gravitación universal.

En la formula se puede notar la inclusión de G, la constante de gravitación universal. Newton no conocía el valor de esta constante, sólo explicó que se trata de una constante universal, indicó que se trata de un número bastante pequeño, e indicó la unidad de medida que incluye. Sólo mucho tiempo después hubo las posibilidades técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición (véase experimento de la balanza de torsión) y en la actualidad, con técnicas de la mayor precisión posible se llegó a estos resultado. ${\begin{matrix}G&=\left(6.67428\pm 0.00067\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}\\&=\left(6.67428\pm 0.00067\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{N}}\ {\mbox{m}}^{2}\ {\mbox{kg}}^{-2}\end{matrix}}$ ||left}} Si se consideran expresiones vectoriales, la fuerza gravitatoria del que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 es el siguiente equivalente vectorial de la fórmula (1):

(2)$\mathbf {F} _{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{\|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\|^{2}}}{\hat {\mathbf {u} }}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{\|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\|^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})$

donde ${\hat {\mathbf {u} }}_{12}$ es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Interpretando lo anterior, y guiándonos en la fórmula, esta ley establece que mientras más grandes sean las masas de sus cuerpos, mayor será la fuerza con que se atraigan, y que a mayor distancia de separación menor será la fuerza de atracción. Es importante aclarar que la distancia entre los dos objetos se refiere a la distancia existente entre los centros de gravedad de cada uno de ellos, y que estas debe ser grande en comparación el tamaño de los cuerpos. Si el tamaño de los cuerpos no es despreciable en relación a la distancia que los separa la fórmula (2) no es exacta y debe ser substituida por:

(3)$\mathbf {F} _{12}=-G\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}{\frac {\rho _{1}(\mathbf {r} _{1})\rho _{2}(\mathbf {r} _{2})}{\|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\|^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\ d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}$

Donde:

$\scriptstyle V_{1},V_{2}$ son los volumenes de los dos cuerpos.

$\scriptstyle \rho _{1},\rho _{2}$ son las densidades de los dos cuerpos.

Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:

$G{\frac {m_{1}m_{2}}{d_{max}}}\leq \|\mathbf {F} _{12}\|\leq G{\frac {m_{1}m_{2}}{d_{min}}}$

Donde $\scriptstyle d_{min},d_{max}$ son las distancias mínima y máxima entre los dos cuerpos en un instante dado.

Véase también

• Gravedad
• Isaac Newton