Teorema de Rao-Blackwell

En estadística el teorema de Rao-Blackwell permite resolver la transformación de un estimador crudo arbitrario en uno optimizado mediante el criterio del error cuadrático medio u otro similar.

El teorema de Rao-Blackwell establece que si g(X) es cualquier tipo de estimador de un parámetro θ, el valor esperado de g(X) dado T(X), donde T es un dato estadítico suficiente, resulta un mejor estimador de θ, y nunca es erróneo. Algunas veces puede construirse fácilmente un estimador g(X) muy crudo, y entonces evaluar su valor esperado para obtener un estimador que es óptimo en varios sentidos.

El teorema recibe su nombre de Calyampudi Radhakrishna Rao y David Blackwell.

Definiciones

• Un estimador δ(X) es una variable aleatoria observable usada para estimar una cantidad no observable. Por ejemplo, puede no ser posible relevar la altura promedio de todos los estudiantes varones de la Universidad X, pero sí es factible hacerlo con una muestra aleatoria de 40 de ellos. La altura promedio de los 40 , la «muestra promedio» puede utilizarse como estimador del promedio de la población estudiada.

• Una estadística suficiente T(X) es una variable aleatoria observable tal que la distribución probable de todos los datos relevados X dado T(X) no depende de ninguna de las cantidades no relevadas sino de la desviación estándar del total de la población donde se tomó la muestra X. En los ejemplos más frecuentes las cantidades no observables parametrizan un conjunto conocido de probabilidades de distribución de los datos.

El teorema

Versión del error cuadrático medio

Un caso del teorema de Rao–Blackwell dice que:

El error cuadrático medio del estimador de Rao–Blackwell no excede el del estimador original.

Es decir:

$\operatorname {E} ((\delta _{1}(X)-\theta )^{2})\leq \operatorname {E} ((\delta (X)-\theta )^{2}).\,\!$