Equilibrio mecánico

El equilibrio mecánico es una situación estacionaria en la que se cumplen una de estas dos condiciones:

(1) Un sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos, sobre cada partícula del sistema es cero.

(2) Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero.

La alternativa (2) de definición equilibrio que es más general y útil (especialmente en mecánica de medios continuos).

Definición basada en equilibrio de fuerzas

Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar moviéndose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme. Esto es ampliable a un sólido rígido. Las ecuaciones necesarias y suficientes de equilibrio mecánico son:

• Una partícula o un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

$\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}=0\,$

En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión; descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta:

${\vec {F}}_{i}=F_{i,x}\,{\vec {u}}_{x}+F_{i,y}\,{\vec {u}}_{y}+F_{i,z}\,{\vec {u}}_{z}\,$

Y como un vector, es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, se tiene:

1. $\sum _{i=1}^{n}F_{i,x}=0\,$
2. $\sum _{i=1}^{n}F_{i,y}=0\,$
3. $\sum _{i=1}^{n}F_{i,z}=0\,$

Un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando la suma de las componentes de las fuerzas que actúan sobre él es cero.

• Un sólido rígido está en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.

$\sum _{i=1}^{n}{\vec {M}}_{i}=0\,$

En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:

${\vec {M}}_{i}=M_{i,x}\,{\vec {u}}_{x}+M_{i,y}\,{\vec {u}}_{y}+M_{i,z}\,{\vec {u}}_{z}\,$

Resultando:

1. $\sum _{i=1}^{n}M_{i,x}=0\,$
2. $\sum _{i=1}^{n}M_{i,y}=0\,$
3. $\sum _{i=1}^{n}M_{i,z}=0\,$

Un sólido rígido está en equilibrio de rotación cuando la suma de las componentes de los momentos que actúan sobre él es cero

Un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibrio de traslación y de rotación.

Se distingue un tipo particular de equilibrio mecánico llamado equilibrio estático que correspondería a una situación en que el cuerpo está en reposo, con velocidad cero: una hoja de papel sobre un escritorio estará en equilibrio mecánico y estático, un paracaidista cayendo a velocidad constante, dada por la velocidad límite estaría en equilibrio mecánico pero no estático.

Definición basada en la energía potencial

La definición (1) del principio de este artículo es de poca utilidad en mecánica de medios continuos, puesto que esa definición no es fácilmente generalizable a un medio continuo. Además, dicha definición no proporciona información sobre uno de los aspectos más importantes del estado de equilibrio, la estabilidad. Para este tipo de sistemas lo más cómodo es usar la definición (2). Debido a la relación fundamental entre fuerza y energía, esta definición es equivalente a la primera definición (1). Además, esta segunda definición puede extenderse fácilmente para definir el equilibrio estable. Si la función de energía potencial es diferenciable, entonces los puntos de equilibrio coincidirán con los puntos donde ocurra un máximo o un mínimo locales de la energía potencial.

Estabilidad del equilibrio

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.

Equilibrio meta-estable (1), inestable (2) y estable (3).

Un resultado elemental del análisis matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún punto. Para determinar problemas unidimensionales, comprobar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificar las derivadas segundas de la energía potencial:

• Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que éste sea, entonces se alejará más y más de él (de ahí el nombre inestabilidad para esa situación).

• Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía. Así, si el sistema es desplazado de la posición de equilibrio una cantidad suficientemente pequeña, posiblemente no volverá a acercarse al equilibrio pero tampoco divergerá mucho de la posición anterior de equilibrio.

• Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local. La respuesta del sistema frente a pequeñas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeño de del punto de equilibrio es volver u oscilar alrededor del punto de equilibrio. Si existe más de un punto de equilibrio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energía potencia es mayor que el mínimo absoluto representa un estado metaestable.

Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales) la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) definida por la matriz hessiana de la energía potencial:

• Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos.

• Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.

• Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional

Véase también

• Estática
• Dinámica
• Cinemática
• Momento de fuerza respecto a un centro o polo.
• Metaestabilidad
• Principio de d'Alembert
• Ingeniería mecánica

Referencias

• Marion & Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems. Fourth Edition, Harcourt Brace & Company (1995). (en inglés)