Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracerización de las funciones homogéneas.

Enunciado

Si una función $f=f(x,y,z)\,$ es una función homogénea de grado n podemos afirmar que: $x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}+z{\frac {\partial f}{\partial z}}=nf$, es decir, de manera más simplificada : $\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=nf$

Definición de función homogénea de grado / ecuación homogénea de grado

Una función $f=f(x,y,z)\,$ se dice función homogénea de grado n $\Longleftrightarrow$ para un valor arbitrario $\lambda \,$ , $f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{n}f(x,y,z)\,$

Demostración

Escribiendo $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )$

con respecto a $\alpha \,$, encontramos aplicando la regla de la cadena que

${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )$

Así que:

$y_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} )+\cdots +y_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )$

La anterior ecuación puede reescribirse como:

$\mathbf {y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$, de donde el resultado de partida se obtiene ajustando $\alpha =1$

Para una demostración del contrarrecíproco, ver [1].

• Supongamos que $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas paraciales de primer orden $\partial f/\partial x_{i}$ son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )$

con respecto a $y_{i}\,$, encontramos por la regla de la cadena que:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(\alpha y_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(y_{i})$

Y por tanto:

$\alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )$

Y finalmente:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )$

Aplicaciones del teorema

Aplicaciones en Física: Termodinámica

Si la función de estado termodinámica es:

• Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : $\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=f$
• Homogénea de grado 0: función de variables intensivas : $\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0$

Bibliografía

• Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
• Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España