Teorema del valor intermedio

El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.

En palabras más vulgares, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente: Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un río, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la gráfica está en un lado del río (tiene valor negativo) y en el punto b está en el otro lado del río (tiene valor positivo) y la gráfica es contínua en ese segmento, lógica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el río), con lo que podemos decir que para cruzar el río uno se ha de mojar.

Este teorema está íntimamente relacionado con los teoremas de Rolle y del valor medio.

Enunciado y demostración

Sea f una función continua en un intervalo abierto $\ (a,b)$ y el signo de f(a) contrario al de f(b)

Entonces existe al menos un conjunto paracompacto A contenido en (a,b) con f(c) = 0 para todo c en A.

Atención: El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo demuestra que como mínimo existe uno.

Demostración

Para demostrarlo, suponemos que f(a)<0 y f(b)>0 (se demuestra analogamente para el caso contrario).

Suponemos un conjunto K, que contiene todos los puntos x del intervalo [a,b] que verifican que f(x)<= 0. (K es distinto de vacio, ya que f(a)<0).

Ese conjunto tiene una cota superior c, que verifica que c>=x para todo x perteneciente a K.

f(c) puede ser < 0 o = 0, por definicion de K.

Si f(c)<0, hay un intervalo (c-d,c+d) en el que f es < 0, por lo que podrian haber f(x)< 0 para algun x> c. Esto no puede pasar, porque c es cota superior del conjunto K, que tiene todos los valores negativos de f.

Por esto, la cota superior no puede ser un c tal que f(c)<0, asi que f(c)=0.

Aplicaciones

1: Demostrar que una función f(x) corta al eje OX en un determinado intervalo.

2: Demostrar que dos funciones se cortan en un punto.

Para demostrar que la función f(x) y la función g(x) se cortan en al menos un punto estableceré la función h(x) como:

h(x)=f(x) - g(x).

Mediante la aplicacion del teorema de Bolzano podré establecer que estas funciones se cortan en un punto c perteneciente a un intervalo concreto:

h(c)=0

f(c) - g(c)=0

f(c)=g(c)

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