Curtosis

En teoría de la probabilidad y estadística, la curtosis es una medida de la forma o apuntamiento de las distribuciones. Así las medidas de curtosis (también llamadas de apuntamiento o de concentración central) tratan de estudiar la mayor o menor concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la distribución.

Definición de curtosis

El coeficiente de apuntamiento de uso más extendido es el basado en el cuarto momento con respecto a la media y define como:

$\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}$

donde $\mu _{4}$ es el 4º momento centrado o con respecto a la media y $\sigma$ es la desviación estándar.

En ocasiones se emplea esta otra definición del coeficiente de curtosis:

$g_{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

donde se ha sustraido 3 al final para generar un coeficiente centrado en 0.

Tomando la distribución normal como referencia, una distribución puede ser:

• más apuntada que la normal –leptocúrtica.
• menos apuntada que la normal- platicúrtica.
• la distribución normal es mesocúrtica.

En la distribución normal se verifica que $\mu _{4}=3\sigma ^{4}$, donde $\mu _{4}$ es el momento de orden 4 respecto a la media y $\sigma$ la desviación típica.

Así tendremos que:

• Si la distribución es leptocúrtica $\beta _{2}>3$ y $g_{2}>0$
• Si la distribución es platicúrtica $\beta _{2}<3$ y $g_{2}<0$
• Si la distribución es mesocúrtica $\beta _{2}=3$ y $g_{2}=0$

Otra forma de medir la curtosis se obtiene examinando la fórmula de la curtosis de la suma de variables aleatorias. Si Y es la suma de n variables aleatorias estadísticamente independientes, todas con igual distribución X, entonces $Kurt[Y]={\frac {Kurt[X]}{n}}$, complicándose la fórmula si la curtosis se hubiese definido como ${\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}$.