Movimiento uniformemente acelerado

En cinemática, el movimiento uniformemente acelerado (m.u.a.) es aquel en el que la aceleración permanece constante (en magnitiud, dirección y sentido).

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) es un caso particular de este tipo de movimiento, cuando la aceleración y la velocidad inicial son colineales, ya que entonces la trayectoria es rectilínea.

Ecuaciones del movimiento

En este tipo de movimiento el vector aceleración permanece constante, esto es, $\mathbf {a} ={\text{cte.}}$, de modo que a partir de la definición del vector aceleración como derivada del vector velocidad con respecto al tiempo,

(1)$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

se sigue

(2)$\int _{\mathbf {v} _{0}}^{\mathbf {v} }d\mathbf {v} =\int _{0}^{t}\mathbf {a} dt$

siendo $\mathbf {v} _{0}$ la velocidad de la partícula en el instante inicial t=0. Realizando la integración obtenemos

(3)$\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}=\mathbf {a} t$

y ordenando los términos

(4)$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t$

Procediendo a una nueva integración se obtiene el vector de posición

(5)$\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }d\mathbf {r} =\int _{0}^{t}\mathbf {v} dt$

donde el vector $\mathbf {r} _{0}$ representa, como en el caso anterior, el vector de posición de la partícula en el instante t=0. Sustituyendo en esta expresión el vector velocidad anteriormente determinado, tenemos

(6)$\int _{\mathbf {r} _{0}}^{\mathbf {r} }d\mathbf {r} =\int _{0}^{t}(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)dt$

e integrando y ordenando términos

(7)$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$

De acuerdo con la ec. [5], la velocidad de la partícula se encuentra siempre en el plano definido por los vectores $\mathbf {v} _{0}$ y $\mathbf {a}$. Del mismo modo, la ec. [7] nos indica que el vector $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ permanece siempre en ese mismo plano. Así, llegamos a la conclusión de que en el movimiento con aceleración constante la trayectoria de la partícula está situada en un plano (plano osculador), tal como se ilustra en la figura.

Movimiento uniformemente acelerado con trayectoria parabólica

Se pueden presentar los siguientes casos:

• Si la velocidad inicial es nula, o sea $\mathbf {v} _{0}=0$, la ec. [7] se reduce a

(8)$\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$

de modo que la trayectoria es rectilínea y el sentido del movimiento es el de la aceleración constante $\mathbf {a}$, ya que el vector desplazamiento $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ tiene siempre la dirección del vector aceleración. Obviamente, se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

• Si los vectores $\mathbf {v} _{0}$ y $\mathbf {a}$, tienen la misma dirección, entonces la trayectoria es rectilínea y el movimiento será rectilíneo uniformemente acelerado o retardado según que los sentidos de ambos vectores sean iguales u opuestos.

• En el caso general, $\mathbf {v} _{0}$ y $\mathbf {a}$ tendrán direcciones diferentes. Entonces, la ec. [7] representa una parábola situada en el plano definido por los

vectores $\mathbf {v} _{0}$ y $\mathbf {a}$ y que pasa por un punto del espacio cuyo vector de posición es $\mathbf {v} _{0}$. Uno de los problemas más interesantes en que se presenta esta situación es el movimiento de los proyectiles.

Movimiento bajo fuerza constante en mecánica relativista

En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que tenemos en teoría de la relatividad es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

Véase también

• Cinemática
• Movimiento balístico

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.