Representación de números con signo

En matemáticas, los números negativos en cualquier base se representan del modo habitual, precediéndolos con un signo «−». Sin embargo, en una computadora, hay varias formas de representar el signo de un número. Este artículo trata cuatro métodos de extender el sistema binario para representar números con signo: signo y magnitud, complemento a uno, complemento a dos y exceso N.

Para la mayoría de usos, las computadoras modernas utilizan típicamente la representación en complemento a dos, aunque pueden usarse otras en algunas circunstancias.

Signo y Magnitud

Un primer enfoque al problema de representar el signo de un número podría consistir en asignar un bit para representar el signo, poner ese bit (a menudo el bit más significativo) a 0 para un número positivo, y a 1 para un número negativo. Los bits restantes en el número indican la magnitud (o el valor absoluto). Por lo tanto en un byte con solamente 7 bits (aparte del bit de signo) la magnitud puede tomar valores desde 01111111(+127)a 0 (0), y de aquí a 11111111 (-127). Una consecuencia de esta representación es que hay dos maneras de representar 0, 00000000 (0) y 10000000 (-0). De este modo +43 decimal codificado en un [byte] de ocho bits es 00101011.

Este enfoque es directamente comparable a la forma habitual de demostrar el signo (colocando "+" o "-" al lado de la magnitud del número). Algunas de las primeras computadoras binarias ( la IBM 7090) utilizaron esta representación, quizás por su relación obvia con la práctica habitual

Complemento a uno

Como alternativa para representar números negativos puede usarse un sistema conocido como complemento a uno. La forma del complemento a uno de un número binario es un NOT bit a bit aplicado al número. Recordemos que el complemento a uno de un número positivo no sufre ningún cambio ( C1(2)= 00000010 C1(-2)= 11111101). Como en la representación de signo-y-magnitud, el complemento a uno tendrá dos representaciones del 0: 00000000 (+0) y 11111111 (-0). Como ejemplo, el complemento a uno de 0101011 (43) se convierten en 1010100 (-43). El rango para la representación en complemento a uno con 8 bits es -127 a +127 (en base 10).

Para sumar dos números representados en este sistema, uno hace una suma binaria convencional, pero es necesario sumar el último acarreo obtenido al resultado de la suma. Para ver porqué esto es necesario, consideramos el caso de la suma de -1 (11111110) a +2 (00000010). ¡La adición binaria solamente da a 00000000, que no es la respuesta correcta! Solamente cuando se suma el acarreo al resultado obtenemos el resultado correcto (00000001).

Este sistema numérico de representación era común en computadoras más antiguas; el PDP-1 y la serie de UNIVAC 1100/2200, entre muchas otras, utilizaron la aritmética en complemento a uno. (Una observación de terminología: El sistema es conocido como “complemento a uno” porque la negación de x se forma restando x a una cadena larga de unos. La aritmética del complemento a dos, por otra parte, forma la negación de x restando la potencia de dos que utiliza un bit más en la representación (Siguiendo con el ejemplo de 8 bits el número a restar sería 100000000).

Complemento a dos

Valores con números de 8 bits	Valor del complemento a dos	Valor sin signo
00000000	0	0
00000001	1	1
...	...	...
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−128	128
10000001	−127	129
10000010	−126	130
...	...	...
11111110	−2	254
11111111	−1	255

Los problemas de las múltiples representaciones del 0 y la necesidad del acarreo de salida, se evitan con un sistema llamado Complemento a dos. En el complemento a dos, los números negativos se representan mediante el patrón de bits que es un bit mayor (sin signo) que el complemento a uno del valor positivo.

En el complemento a dos, hay un solo cero (00000000). Para negar un número (negativo o positivo) invertimos todos los bits y añadimos un 1 al resultado. La suma de un par de números enteros en complemento a dos es la misma que la suma de un par de números sin signo (excepto para la detección de desbordamiento si se usa).

Por ejemplo, la suma en complemento a dos de 127 y –128 da el mismo patrón de bits que la suma sin signo del 127 y 128, tal y como se puede ver en la tabla de abajo. El valor -8, representado en binario con cuatro bits (1000) es un caso especial, ya que su complemento a dos es el mismo, es necesario cinco bits para su representación (01000).

Una forma fácil de implementar el complemento a dos es la siguiente:

	Ejemplo 1	Ejemplo 2
1. Empezando desde la derecha encontramos el primer '1'	0101001	0101100
2. Hacemos un NOT a todos los bits que quedan por la izquierda	1010111	1010100

Tabla de comparación

La tabla siguiente compara la representación de los enteros entre 8 y -8 (incluídos) usando 4 bits.

Representación de enteros de 4 bits

Decimal	Entero positivo	Signo y magnitud	Complemento a 1	Complemento a 2	BCD- exceso 8
+8	1000	n/a	n/a	n/a	1111
+7	0111	0111	0111	0111	1110
+6	0110	0110	0110	0110	1101
+5	0101	0101	0101	0101	1100
+4	0100	0100	0100	0100	1011
+3	0011	0011	0011	0011	0011
+2	0010	0010	0010	0010	1001
+1	0001	0001	0001	0001	1000
(+)0	0000	0000	0000	0000	0111
(−)0	n/a	1000	1111	n/a	n/a
−1	n/a	1001	1110	1111	0110
−2	n/a	1010	1101	1110	0101
−3	n/a	1011	1100	1101	0100
−4	n/a	1100	1011	1100	0011
−5	n/a	1101	1010	1011	0010
−6	n/a	1110	1001	1010	0001
−7	n/a	1111	1000	1001	0000
−8	n/a	n/a	n/a	1000	n/a