Teorema del resto

El teorema del resto afirma que el resto $r\,$, que resulta al dividir un polinomio $p(x)\,$ entre $x-a\,$, es igual a $p(a)\,.$

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

$p(x)=q(x)c(x)+r(x)\,,$

donde $p(x)\,$ es el dividendo, $q(x)\,$ el divisor, $c(x)\,$ el cociente y $r(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $r(x)\,$ es menor que el grado de $q(x)\,$.

En efecto, si tomamos el divisor $q(x)=x-a\,$ entonces $r(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

$f(x)=(x-a)c(x)+r\,.$

Tomando el valor $x=a\!\,$ se obtiene que:

${\frac {}{}}f(a)=r$

El teorema del resto nos permite calcular $f(a)\,$ calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores primos.

Ejemplo

Sea $p(x)=x^{3}-3x^{2}-7\,$.

Al dividir $p(x)$ entre $x-2$ obtenemos el cociente

$c(x)=x^{2}-x-2$ y el resto $r=-11$.

Podemos asegurar entonces, que $p(2)=-11\,$.

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que $(x-a)$ es un factor del polinomio $f(x)$ si y sólo si $f(a)=0$.