Cuatro cuatros

El problema de los cuatro cuatros es uno de los problemas enunciados en el libro El hombre que calculaba (de Malba Tahan).

El origen del problema se da en una conversación entre Beremir (El hombre que calculaba) y su acompañante, al ver una tienda en la que todo se vendía a cuatro dinares. De ahí que Beremiz recuerde que es una interesante coincidencia que le hace recordar un "hermoso problema".

El problema consiste, según en enunciado, en encontrar la forma matemática para representar cualquier número, usando para ello sólo cuatro cuatros, y a lo sumo, algunos símbolos no literales para las operaciones básicas. Beremiz da algunos ejemplos para algunos de los números más conocidos, como el cero y los números del uno al cuatro.

Problemas similares pueden plantearse con tres tres, etcétera. Sin embargo, es muy fácil representar con cuatro cuatros muchos números de gran importancia para las civilizaciones actuales.

Ejemplos de representaciones usando cuatro cuatros

A continuación se presentan algunos ejemplos para varios números interesantes.

Número	Representación
0	${4 \over 4}-{4 \over 4}$ $44-44$ $(4\times 4)-(4\times 4)$ $4-4+4-4$
1	${4 \over 4}\times {4 \over 4}$ ${44 \over 44}$ $(4\times 4) \over (4\times 4)$
2	${4 \over 4}+{4 \over 4}$
3	${{4\times 4-4} \over 4}$ ${4+4+4} \over 4$
4	$\left(4-4\right)\times 4+4$
5	${{4\times 4+4} \over 4}$
6	${{4!\times {4 \over 4}} \over 4}$ $4+({4+4 \over 4})$
7	${4! \over {4+4}}+4$ ${44 \over 4}-4$ $4+4-{4 \over 4}$
8	$4+4\times {4 \over 4}$ $4+4+4-4$
9	$4+4+{4 \over 4}$
10	$4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$ ${(44-4) \over 4}$ ${4!+(4\times 4)} \over 4$
11	$44 \over ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})$
12	${\sqrt {4}}\times ({\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}})$
13	${4! \over {\sqrt {4}}}+{4 \over 4}$
14	${4\times 4}-{4 \over {\sqrt {4}}}$
15	${44 \over 4}+4$
16	$4\times 4\times {4 \over 4}$
17	$4\times 4+{4 \over 4}$
18	$4\times 4+{4 \over {\sqrt {4}}}$
19	$4!-{4 \over 4}-4$
20	$\left(4+{4 \over 4}\right)\times 4$
23,	$-4^{(}4-4)+4!$
24, número de horas del día	$4\times 4+4+4$
32	${{\left(4^{4}\right)} \over {4+4}}$
60, número de minutos de la hora	${4\times 4\times 4}-4$
100	$(4+4+{\sqrt {4}})^{\sqrt {4}}$
180, la suma de los ángulos de un triángulo plano	$44\times 4+4$
250	$4^{4}-4-{\sqrt {4}}$
1024, igual a 210, el número de bits en 1 Kb	${{(4+4)^{4}} \over 4}$