Completar el cuadrado

Completando el cuadrado es una técnica de álgebra elemental que dada una expresión de la forma:

$x^{2}+bx$

es reemplazada por una de la forma

$(x+c)^{2}+d$

Específicamente, sea:

${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\end{matrix}}$

Completando el cuadrado se reduce cualquier problema de polinomio cuadrático a uno de polinomio cuadrado perfecto más una constante.

Perspectiva geométrica

Considere completando el cuadrado para la siguiente ecuación:

$x^{2}+bx=a.\,$

Puesto que x² representa el área de un cuadrado con lados de longitud x, y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x, el proceso de completando el cuadrado puede ser visto como una manipulación visual de rectángulos.

Intentos simples de combinar x² y bx en un cuadrado mayor resulta en una esquina que falta. El término (b/2)² añadido a cada lado de la ecuación de arriba es precísamente el área de la esquina que falta, de lo que deriva la terminología "completando el cuadrado".[1]

Ejemplo

Un ejemplo simple es:

$x^{2}+6x=x^{2}+6x+9-9=(x+3)^{2}-9$

Aplicación en cálculo integral. Ahora, considérese el problema de encontrar esta antiderivada:

$\int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}.$

El denominador es

$9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241.$

Sumando (10/2)² = 25 a x² - 10x da un cuadrado perfecto x² - 10x + 25 = (x - 5)². De lo que resulta

$9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16.$

Sea la integral

$\int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C.$

Véase también

• ecuación cuadrática
• trinomio cuadrado perfecto

Enlaces externos

• Completando el cuadrado
• Completando el cuadrado (Video en Youtube)