Foliación

En matemáticas, una foliación es una partición en subvariedades diferenciables de otra variedad diferenciable (de tal modo que cada todas las subvariedades que conforman la foliación son de la misma dimensión m, siendo m menor menor que la dimensión de la variedad original).

Intuitivamente una foliación es como un conjunto de cortes o lonchas finas de la dimensión original en piezas de la misma dimensión. Por ejemplo se puede foliar espacio euclídeo tridimensional considerando que se trata de un apilamiento de infinitos planos euclídeos uno encima de otro. Cuando una variedad admite una foliación entonces localmente tiene una estructura topológica de variedad producto.

Definición

Más formalmente, una foliación F de dimensión p o foliación p-dimensional de una variedad M es un recubrimiento topológico, formado por conjuntos U_i y equipado además con aplicaciones:

$\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$

tal que en los solapes $U_{i}\cap U_{j}$ las funciones $\varphi _{ij}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ definidas mediante:

$\varphi _{ij}=\phi _{j}\phi _{i}^{-1}$

tienen la forma:

$\varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))$

Donde $x$ denota las primeras $n-p$ coordenadas, y $y$ denota las últimas p coordenadas. Es decir,

$\varphi _{ij}^{1}:\mathbb {R} ^{n-p}\to \mathbb {R} ^{n-p}$

y

$\varphi _{ij}^{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$.

Véase también

• G-structura
• foliación de Reeb
• foliación de Taut