División (matemática)

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

$Dividendo\,$		$Divisor\,$
$Resto\,$		$Cociente\,$

Que también puede expresarse:

$Dividendo=(Cociente\times Divisor)+Resto\,$

dividendo = cociente × divisor + resto

Tabla

El algoritmo se construye a partir de una tabla elemental, que es inversa de la de multiplicar.

La lectura de la tabla es, por ejemplo, 10 : 5 = 2, leído: «diez entre cinco igual a dos» o, bien «diez dividido cinco es igual a dos».

TABLA DE DIVIDIR

1 : 1 = 1	2 : 2 = 1	3 : 3 = 1	4 : 4 = 1	5 : 5 = 1	6 : 6 = 1	7 : 7 = 1	8 : 8 = 1	9 : 9 = 1
2 : 1 = 2	4 : 2 = 2	6 : 3 = 2	8 : 4 = 2	10 : 5 = 2	12 : 6 = 2	14 : 7 = 2	16 : 8 = 2	18 : 9 = 2
3 : 1 = 3	6 : 2 = 3	9 : 3 = 3	12 : 4 = 3	15 : 5 = 3	18 : 6 = 3	21 : 7 = 3	24 : 8 = 3	27 : 9 = 3
4 : 1 = 4	8 : 2 = 4	12 : 3 = 4	16 : 4 = 4	20 : 5 = 4	24 : 6 = 4	28 : 7 = 4	32 : 8 = 4	36 : 9 = 4
5 : 1 = 5	10 : 2 = 5	15 : 3 = 5	20 : 4 = 5	25 : 5 = 5	30 : 6 = 5	35 : 7 = 5	40 : 8 = 5	45 : 9 = 5
6 : 1 = 6	12 : 2 = 6	18 : 3 = 6	24 : 4 = 6	30 : 5 = 6	36 : 6 = 6	42 : 7 = 6	48 : 8 = 6	54 : 9 = 6
7 : 1 = 7	14 : 2 = 7	21 : 3 = 7	28 : 4 = 7	35 : 5 = 7	42 : 6 = 7	49 : 7 = 7	56 : 8 = 7	63 : 9 = 7
8 : 1 = 8	16 : 2 = 8	24 : 3 = 8	32 : 4 = 8	40 : 5 = 8	48 : 6 = 8	56 : 7 = 8	64 : 8 = 8	72 : 9 = 8
9 : 1 = 9	18 : 2 = 9	27 : 3 = 9	36 : 4 = 9	45 : 5 = 9	54 : 6 = 9	63 : 7 = 9	72 : 8 = 9	81 : 9 = 9

Ejemplo de una división

El algoritmo se realiza de la forma siguiente:

Consideremos que el dividendo es 8593, y el divisor 23.

Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha, contenido en una escuadra abierta hacia la derecha o galera.

Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide por la primera del divisor (2). En el caso de que la primera cifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.

Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor sea menor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).

Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo que se toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se resta de las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.

A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, se procede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas las cifras del dividendo.

Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo que consideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahora la cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92; 83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.

Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menor que el divisor.

El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de 14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.

Algoritmo de la división. Otro ejemplo

Hallemos la división de dividendo 948 y divisor 32. La disposición y algoritmo se describen abajo, siendo el resultado: cociente 29, y resto 20.

$948\,$		$32\,$
${\underline {64}}\,$		$29\,$
$308\,$
${\underline {288}}\,$
$20\,$

Donde la primera cifra del cociente, "2", es el número que multiplicado por el divisor se aproxima más por defecto a las dos primeras cifras, como número, del dividendo; las cifras "30" que se sitúan debajo es el resto, que representa la diferencia entre dicha multiplicación "64" y las dos primeras cifras del dividendo "94"; (si fuera necesario para poder realizar la multiplicación por defecto, se podrían tomar una cifra más del dividendo).

A dichas cifras "30" se le añade la cifra posterior derecha de del dividendo "8", que, tomado como número 308, se constituye en nuevo dividendo al que se le aplica el mismo procedimiento, dando un nuevo cociente como cifra "9" y un resto de 20. El resultado cociente es el número formado por las dos cifras 29.

Comprobación:

29 * 32 + 20 = 948

Esta es una de las maneras por las que se puede verificar si está bien realizada la división.

División de monomios

Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y se restan los exponentes de la parte literal. Si la división de los coeficientes no es exacta, se suele representar como fracción.

División un polinomio entre un monomio

Se divide cada término del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales con sus propios signos.

División de dos polinomios

Regla para la división de dos polinomios:

1. Se ordenan los polinomios dados con respecto a una letra. Si falta algún término para ordenar el dividendo, se deja el espacio o se pone cero.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
3. Se multiplica este cociente por cada término del divisor y este producto se resta del dividendo.
4. A la diferencia obtenida se le agrega el siguiente término del dividendo y se repite la operación hasta que se hayan dividido todos los términos del dividendo.

Existen otros algoritmos para dividir polinomios, como el de Horner, el de Ruffini o el teorema del resto. Algunos de estos métodos sólo son aplicables a ciertos tipos de polinomios.

Criterios de divisibilidad

• Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0).
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 4 o termina en doble 0.
• Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.
• Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.
• Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es múltiplo de 8.
• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Un número es divisible por 10 si termina en 0.
• Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11.
• Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.

Aplicaciones

Los criterios sirven en especial para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

Véase también

• División por cero

Enlaces externos

• Matemáticas en la BBC
• Ejemplos de divisiones (Álgebra)