Quicksort

Quicksort en acción sobre una lista de números aleatorios. Las líneas horizontales son valores pivote.

El ordenamiento rápido (quicksort en inglés) es un algoritmo basado en la técnica de divide y vencerás, que permite, en promedio, ordenar n elementos en un tiempo proporcional a n log n. Esta es la técnica de ordenamiento más rápida conocida. Fue desarrollada por C. Antony R. Hoare en 1960. El algoritmo original es recursivo, pero se utilizan versiones iterativas para mejorar su rendimiento (los algoritmos recursivos son en general más lentos que los iterativos, y consumen más recursos).

Descripción del algoritmo

El algoritmo fundamental es el siguiente:

• Elegir un elemento de la lista de elementos a ordenar, al que llamaremos pivote.
• Resituar los demás elementos de la lista a cada lado del pivote, de manera que a un lado queden todos los menores que él, y al otro los mayores. En este momento, el pivote ocupa exactamente el lugar que le corresponderá en la lista ordenada.
• La lista queda separada en dos sublistas, una formada por los elementos a la izquierda del pivote, y otra por los elementos a su derecha.
• Repetir este proceso de forma recursiva para cada sublista mientras éstas contengan más de un elemento. Una vez terminado este proceso todos los elementos estarán ordenados.

Como se puede suponer, la eficiencia del algoritmo depende de la posición en la que termine el pivote elegido.

• En el mejor caso, el pivote termina en el centro de la lista, dividiéndola en dos sublistas de igual tamaño. En este caso, el orden de complejidad del algoritmo es O(n·log n).
• En el peor caso, el pivote termina en un extremo de la lista. El orden de complejidad del algoritmo es entonces de O(n²). El peor caso dependerá de la implementación del algoritmo, aunque habitualmente ocurre en listas que se encuentran ordenadas, o casi ordenadas.
• En el caso promedio, el orden es O(n·log n).

No es extraño, pues, que la mayoría de optimizaciones que se aplican al algoritmo se centren en la elección del pivote.

Demostración

Podriamos probar el orden de ejecución en el mejor caso de la siguiente manera:

Vamos a suponer que el número total de elementos a ordenar es potencia de dos, es decir, $n=2^{k}$. de aquí podemos ver que $k=log_{2}(n)$, donde k es el número de divisiones que realizará el algoritmo.

En la primera fase del algoritmo habrán n comparaciones, en la segunda fase el algoritmo creará dos sublistas aproximadamente de tamaño n/2. El número total de comparaciones de estas dos sublistas es: 2(n/2) = n. En la tercera fase el algoritmo procesará 4 sublistas más, por tanto el número total de comparaciones en esta fase es 4(n/4) = n.

En conclusión, el número total de comparaciones que hace el algoritmo es:

$n+n+n+.....+n=kn$, donde $k=log_{2}(n)$, por tanto la el tiempo de ejecución del algoritmo en el mejor caso es $O(n.log_{2}n)$

Cabe resaltar que este orden es además la complejidad de cualquier algoritmo de ordenamiento basado en comparaciones dos a dos (binarias).

Optimización del algoritmo

Técnicas de elección del pivote

El algoritmo básico Quicksort permite tomar cualquier elemento de la lista como pivote, dependiendo de la particion n que se elija, el algoritmo será más o menos eficiente.

• Tomar un elemento cualquiera como pivote tiene la ventaja de no requerir ningún cálculo adicional, lo cual lo hace bastante rápido. Sin embargo, esta elección «a ciegas» siempre provoca que el algoritmo tenga un orden de O(n²) para ciertas permutaciones de los elementos en la lista.
• Otra opción puede ser recorrer la lista para saber de antemano qué elemento ocupará la posición central de la lista, para elegirlo como pivote. Esto puede hacerse en O(n) y asegura que hasta en el caso peor el algoritmo sea O(n·log n). No obstante, el cálculo adicional rebaja bastante la eficiencia del algoritmo en el caso promedio.
• La opción a medio camino es tomar tres elementos de la lista - por ejemplo, el primero, el segundo, y el último - y compararlos, eligiendo el valor del medio como pivote.

Técnicas de reposicionamiento

Una idea preliminar para ubicar el pivote en su posición final sería contar la cantidad de elementos menores que él, y colocarlo un lugar más arriba, moviendo luego todos esos elementos menores que él a su izquierda, para que pueda aplicarse la recursividad.

Existe, no obstante, un procedimiento mucho más efectivo. Se utilizan dos índices: i, al que llamaremos índice izquierdo, y j, al que llamaremos índice derecho. El algoritmo es el siguiente:

• Recorrer la lista simultáneamente con i y j: por la izquierda con i (desde el primer elemento), y por la derecha con j (desde el último elemento).
• Cuando lista[i] sea mayor que el pivote y lista[j] sea menor, se intercambian los elementos en esas posiciones.
• Repetir esto hasta que se crucen los índices.
• El punto en que se cruzan los índices es la posición adecuada para colocar el pivote, porque sabemos que a un lado los elementos son todos menores y al otro son todos mayores (o habrían sido intercambiados).

Transición a otro algoritmo

Como se comentó antes, el algoritmo quicksort ofrece un orden de ejecución O(n²) para ciertas permutaciones "críticas" de los elementos de la lista, que siempre surgen cuando se elige el pivote «a ciegas». La permutación concreta depende del pivote elegido, pero suele corresponder a secuencias ordenadas. Se tiene que la probabilidad de encontrarse con una de estas secuencias es inversamente proporcional a su tamaño.

• Los últimos pases de quicksort son numerosos y ordenan cantidades pequeña de elementos. Un porcentaje medianamente alto de ellos estarán dispuestos de una manera similar al peor caso del algoritmo, volviendo a éste ineficiente. Una solución a este problema consiste en ordenar las secuencias pequeñas usando otro algoritmo. Habitualmente se aplica el algoritmo de inserción para secuencias de tamaño menores de 8-15 elementos.
• Pese a que en secuencias largas de elementos la probabilidad de hallarse con una configuración de elementos "crítica" es muy baja, esto no evita que sigan apareciendo (a veces, de manera intencionada). El algoritmo introsort es una extensión del algoritmo quicksort que resuelve este problema utilizando heapsort en vez de quicksort cuando el número de recursiones excede al esperado.

• Parámetros:
  • lista a ordenar (lista)
  • índice inferior (inf)
  • índice superior (sup)

    // Inicialización de variables
    1. pivote = lista[sup];
    2. i = inf;
    3. j = sup - 1;
    4. cont = 1;
    
    // Verificamos que no se crucen los límites
    5. if (inf >= sup)
    6.      retornar;
    
    //  Clasificamos la sublista
    7. while (cont)
    8.      while ((lista[i] < pivote) && (i<j)) { ++i; }
    9.      while ((lista[j] > pivote) && (j>i)) { --j; } 
   10.      if (lista[i] > lista[j])
   11.           temp = lista[i];
   12.           lista[i] = lista[j];
   13.           lista[j] = temp;
   14.      else
   15.           cont = 0;
   
   // Copiamos el pivote en su posición final
   16. temp = lista[i];
   17. lista[i] = lista[sup];
   18. lista[sup] = temp;
   
   // Aplicamos el procedimiento recursivamente a cada sublista
   19. QuickSort (lista, inf, i - 1);
   20. QuickSort (lista, i + 1, sup);

Nota: La primera llamada debería tomar los parámetros la lista, 0 (cero) y el tamaño de la lista menos 1.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo se marcan el pivote y los índices i y j con las letras p, i y j respectivamente.

Comenzamos con la lista completa. El elemento divisor será el 4:

5 - 3 - 7 - 6 - 2 - 1 - 4
                        p

Comparamos con el 5 por la izquierda y el 1 por la derecha.

5 - 3 - 7 - 6 - 2 - 1 - 4 
i                   j   p

5 es mayor que cuatro y 1 es menor. Intercambiamos:

1 - 3 - 7 - 6 - 2 - 5 - 4
i                   j   p 

Avanzamos por la izquierda y la derecha:

1 - 3 - 7 - 6 - 2 - 5 - 4
    i           j       p 

3 es menor que 4: avanzamos por la izquierda. 2 es menor que 4: nos mantenemos ahí.

1 - 3 - 7 - 6 - 2 - 5 - 4
        i       j       p 

7 es mayor que 4 y 2 es menor: intercambiamos.

1 - 3 - 2 - 6 - 7 - 5 - 4
        i       j       p 

Avanzamos por ambos lados:

1 - 3 - 2 - 6 - 7 - 5 - 4
           iyj          p 

En este momento termina el ciclo principal, porque los índices se cruzaron. Ahora intercambiamos lista[i] con lista[sup] (pasos 16-18):

1 - 3 - 2 - 4 - 7 - 5 - 6
            p 

Aplicamos recursivamente a la sublista de la izquierda (índices 0 - 2). Tenemos lo siguiente:

1 - 3 - 2 

1 es menor que 2: avanzamos por la izquierda. 3 es mayor: avanzamos por la derecha. Como se intercambiaron los índices termina el ciclo. Se intercambia lista[i] con lista[sup]:

1 - 2 - 3 

El mismo procedimiento se aplicará a la otra sublista. Al finalizar y unir todas las sublistas queda la lista inicial ordenada en forma ascendente.

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7

Implementaciones

El algoritmo de ordenamiento rápido (Quicksort) en:

C++

template <class T>
void quicksort(vector<T>& v, int iz, int der) {
    if (iz < der) {
        int iz_aux(iz), der_aux(der);
        T aux = v[iz]; // Copia del elemento pivote, también podríamos ir manejándonos con índices del vector
        
        while (iz_aux != der_aux) {
            while (v[iz_aux] < aux && der_aux > iz_aux) ++iz_aux;
            while (aux < v[der_aux] && iz_aux < der_aux) --der_aux;
            swap(v[iz_aux], v[der_aux]);
        }
            
        swap(v[iz], v[der_aux]);
        
        // iz_aux y der_aux contienen el mismo valor que corresponde al índice
        // del pivote
        quicksort(v, iz, iz_aux - 1);
        quicksort(v, iz_aux + 1, der);
    }
}


template <class T>
void ordena(vector<T>& v) {
    quicksort(v, 0, v.size() - 1);
}

C Sharp

void Quicksort(int[] v, int prim, int ult)
{
	if (prim < ult)
	{
		/* Selecciona un elemento del vector y coloca los menores
		 que él a su izquierda y los mayores a su derecha */
		int p = Pivote(v, prim, ult, ult);
		
		/* Repite el proceso para cada una de las 
		 particiones generadas en el paso anterior */
		Quicksort(v, prim, p - 1);
		Quicksort(v, p + 1, ult);
	}
}

/* Implementación no clásica de la función Pivote. En lugar de
recorrer el vector simultáneamente desde ambos extremos hasta el
cruce de índices, se recorre desde el comienzo hasta el final */
int Pivote(int[] v, int prim, int ult, int piv)
{
	int p = v[piv];
	int j = prim;

	// Mueve el pivote a la última posición del vector
	Intercambia(v, piv, ult);

	/* Recorre el vector moviendo los elementos menores
	 o iguales que el pivote al comienzo del mismo */
	for (int i = prim; i < ult; i++)
	{
		if (v[i] <= p)
		{
			Intercambia(v, i, j);
			j++;
		}
	}

	// Mueve el pivote a la posición que le corresponde
	Intercambia(v, j, ult);
			
	return j;
}

void Intercambia(int[] v, int a, int b)
{
	if (a != b)
	{
		int tmp = v[a];
		v[a] = v[b];
		v[b] = tmp;
	}
}

Otra en C. Trabaja sólo con punteros (no índices). Ordena enteros de menor a mayor. Pivot: El primero del vector.

void quicksort(int* izq, int* der) /*Se llama con: quicksort(&vector[0],&vector[n-1]);*/
{
	if(der<izq) return;
	int pivot=*izq;
	int* ult=der;
	int* pri=izq;

	while(izq<der)
	{
		while(*izq<=pivot && izq<der+1) izq++;
		while(*der>pivot && der>izq-1) der--;
		if(izq<der) swap(izq,der);
	}
	swap(pri,der);
	quicksort(pri,der-1);
	quicksort(der+1,ult);
}

void swap(int* a, int* b)
{
	int temp=*a;
	*a=*b;
	*b=temp;
}

Java

//Recibe un vector de enteros y el índice del primer y último elemento válido del mismo

void ordenarQuicksort(int[] vector, int primero, int ultimo){
    	int i=primero, j=ultimo;
    	int pivote=vector[(primero+ultimo)/2];
    	int auxiliar;
    	
    	do{
    		while(vector[i]<pivote) i++;    		
    		while(vector[j]>pivote) j--;
    		
    		if (i<=j){
    			auxiliar=vector[j];
    			vector[j]=vector[i];
    			vector[i]=auxiliar;
    			i++;
    			j--;
    		}
    		
    	} while (i<=j);
    	
    	if(primero<j) ordenarQuicksort(vector,primero, j);
    	if(ultimo>i) ordenarQuicksort(vector,i, ultimo);
    }

Véase también

• Algoritmo de ordenamiento.

Referencias

• Quick Sort - Implementación en C
• Ordenamiento rápido, Implementación y descripción
• Explicación vídeo de Quicksort usando tarjetas y del código en C++ Video
• Quick Sort - Implementación en C,PHP,C++,C#,Java,VB,Perl,Prolog,Ruby
• QuickSort C Code